Номер 44.29, страница 269, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.29. Исследуйте на монотонность функцию $y = f(x)$ и постройте (схематически) её график:

а) $f(x) = x^3 - 3x + 2;$

б) $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1;$

в) $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 8;$

г) $f(x) = -x^4 + 8x^2 - 7.$

а)

Исследуем на монотонность и построим график функции $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. Найдем производную функции для определения интервалов монотонности: $f'(x) = (x^3 - 3x + 2)' = 3x^2 - 3$.

3. Критические точки. Найдем точки, в которых производная равна нулю: $f'(x) = 0$. Решаем уравнение $3x^2 - 3 = 0$, что эквивалентно $x^2 = 1$. Корни уравнения, а следовательно и критические точки: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

4. Промежутки монотонности. Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них. График $f'(x) = 3x^2 - 3$ — это парабола с ветвями вверх, поэтому она положительна вне корней и отрицательна между ними.

- На интервале $(-\infty; -1)$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ возрастает.

- На интервале $(-1; 1)$ производная $f'(x) < 0$, значит, функция $f(x)$ убывает.

- На интервале $(1; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, значит, функция $f(x)$ снова возрастает.

5. Экстремумы.

- В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «?», следовательно, это точка локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4$. Точка максимума: $(-1; 4)$.

- В точке $x = 1$ производная меняет знак с «?» на «+», следовательно, это точка локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$. Точка минимума: $(1; 0)$.

6. Построение графика. Ключевые точки для построения: максимум $(-1; 4)$, минимум $(1; 0)$. Пересечение с осью OY: $f(0) = 2$, точка $(0; 2)$. Пересечение с осью OX: $f(x) = (x-1)^2(x+2) = 0$, корни $x=1$ (касание) и $x=-2$. График представляет собой кубическую параболу, проходящую через указанные точки.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-1; 1]$. Точка максимума $(-1; 4)$, точка минимума $(1; 0)$.

б)

Исследуем на монотонность и построим график функции $f(x) = x^4 - 2x^2 + 1$.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Заметим, что $f(x) = (x^2-1)^2$, функция четная ($f(-x)=f(x)$), ее график симметричен относительно оси OY.

2. Производная. $f'(x) = (x^4 - 2x^2 + 1)' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$.

3. Критические точки. $f'(x) = 0 \Rightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0$. Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

4. Промежутки монотонности. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 0)$, $(0; 1)$, $(1; +\infty)$.

- На $(-\infty; -1)$: $f'(x) < 0$ (например, $f'(-2) = -24 < 0$), функция убывает.

- На $(-1; 0)$: $f'(x) > 0$ (например, $f'(-0.5) = 1.5 > 0$), функция возрастает.

- На $(0; 1)$: $f'(x) < 0$ (например, $f'(0.5) = -1.5 < 0$), функция убывает.

- На $(1; +\infty)$: $f'(x) > 0$ (например, $f'(2) = 24 > 0$), функция возрастает.

5. Экстремумы.

- $x = -1$: смена знака с «?» на «+», точка минимума. $f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 1 = 0$. Точка минимума: $(-1; 0)$.

- $x = 0$: смена знака с «+» на «?», точка максимума. $f(0) = 1$. Точка максимума: $(0; 1)$.

- $x = 1$: смена знака с «?» на «+», точка минимума. $f(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 1 = 0$. Точка минимума: $(1; 0)$.

6. Построение графика. График имеет характерную W-образную форму. Он симметричен относительно оси OY, касается оси OX в точках $(-1; 0)$ и $(1; 0)$ (минимумы) и имеет локальный максимум в точке $(0; 1)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-1; 0]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -1]$ и $[0; 1]$. Точки минимума $(-1; 0)$ и $(1; 0)$, точка максимума $(0; 1)$.

в)

Исследуем на монотонность и построим график функции $f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x + 8$.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Производная. $f'(x) = (x^3 + 6x^2 - 15x + 8)' = 3x^2 + 12x - 15 = 3(x^2 + 4x - 5)$.

3. Критические точки. $f'(x) = 0 \Rightarrow 3(x^2 + 4x - 5) = 0 \Rightarrow 3(x+5)(x-1)=0$. Критические точки: $x_1 = -5$ и $x_2 = 1$.

4. Промежутки монотонности. График $f'(x)$ — парабола с ветвями вверх.

- На $(-\infty; -5) \cup (1; +\infty)$ производная $f'(x) > 0$, функция $f(x)$ возрастает.

- На $(-5; 1)$ производная $f'(x) < 0$, функция $f(x)$ убывает.

5. Экстремумы.

- $x = -5$: смена знака с «+» на «?», точка максимума. $f(-5) = (-5)^3 + 6(-5)^2 - 15(-5) + 8 = -125 + 150 + 75 + 8 = 108$. Точка максимума: $(-5; 108)$.

- $x = 1$: смена знака с «?» на «+», точка минимума. $f(1) = 1^3 + 6(1)^2 - 15(1) + 8 = 1 + 6 - 15 + 8 = 0$. Точка минимума: $(1; 0)$.

6. Построение графика. Точки экстремумов: $(-5; 108)$ и $(1; 0)$. Пересечение с OY: $f(0) = 8$. Пересечение с OX: $f(x) = (x-1)^2(x+8)=0$, корни $x=1$ (касание) и $x=-8$. График — кубическая парабола.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -5]$ и $[1; +\infty)$, убывает на промежутке $[-5; 1]$. Точка максимума $(-5; 108)$, точка минимума $(1; 0)$.

г)

Исследуем на монотонность и построим график функции $f(x) = -x^4 + 8x^2 - 7$.

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Функция четная, так как содержит только четные степени $x$, график симметричен относительно оси OY.

2. Производная. $f'(x) = (-x^4 + 8x^2 - 7)' = -4x^3 + 16x = -4x(x^2 - 4) = -4x(x-2)(x+2)$.

3. Критические точки. $f'(x) = 0 \Rightarrow -4x(x-2)(x+2)=0$. Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.

4. Промежутки монотонности. Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$, $(2; +\infty)$.

- На $(-\infty; -2)$: $f'(x) > 0$ (например, $f'(-3) = 60 > 0$), функция возрастает.

- На $(-2; 0)$: $f'(x) < 0$ (например, $f'(-1) = -12 < 0$), функция убывает.

- На $(0; 2)$: $f'(x) > 0$ (например, $f'(1) = 12 > 0$), функция возрастает.

- На $(2; +\infty)$: $f'(x) < 0$ (например, $f'(3) = -60 < 0$), функция убывает.

5. Экстремумы.

- $x = -2$: смена знака с «+» на «?», точка максимума. $f(-2) = -(-2)^4 + 8(-2)^2 - 7 = -16 + 32 - 7 = 9$. Точка максимума: $(-2; 9)$.

- $x = 0$: смена знака с «?» на «+», точка минимума. $f(0) = -7$. Точка минимума: $(0; -7)$.

- $x = 2$: смена знака с «+» на «?», точка максимума. $f(2) = -(2)^4 + 8(2)^2 - 7 = 9$. Точка максимума: $(2; 9)$.

6. Построение графика. График имеет М-образную форму. Пересечение с OX: $-x^4 + 8x^2 - 7 = 0$. Замена $t=x^2$ дает $t^2 - 8t + 7 = 0$, корни $t=1, t=7$. Значит $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$ и $x^2=7 \Rightarrow x=\pm\sqrt{7}$. Точки пересечения: $(\pm1; 0)$ и $(\pm\sqrt{7}; 0)$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$, убывает на промежутках $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$. Точки максимума $(-2; 9)$ и $(2; 9)$, точка минимума $(0; -7)$.