Номер 44.34, страница 270, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.34. При каких значениях параметра а функция $y = x^3 - 3x$:

а) убывает на отрезке $[a + 1; a + 3];$

б) возрастает на отрезке $[a - \frac{1}{2}; 2a + 2];$

в) убывает на отрезке $[a - 3; \frac{1}{6}a + \frac{2}{3}];$

г) возрастает на отрезке $[a - 2,5; a - 0,5]?$

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ функция $y = x^3 - 3x$ возрастает или убывает на заданных отрезках, сначала исследуем ее на монотонность. Для этого найдем ее производную.

$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3(x-1)(x+1) = 0$

Критическими точками являются $x = -1$ и $x = 1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Определим знак производной на каждом из них:

• На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' > 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(-1, 1)$ производная $y' < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' > 0$, значит, функция возрастает.

Таким образом, функция $y = x^3 - 3x$:

• строго возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$;
• строго убывает на промежутке $[-1, 1]$.

Теперь решим каждую из поставленных задач.

а) убывает на отрезке $[a + 1; a + 3]$

Чтобы функция убывала на отрезке $[a + 1; a + 3]$, этот отрезок должен целиком содержаться в промежутке убывания функции, то есть в отрезке $[-1, 1]$.

Это требование можно записать в виде системы неравенств:

$\begin{cases} a + 1 \ge -1 \\ a + 3 \le 1 \end{cases}$

Решим данную систему:

$\begin{cases} a \ge -2 \\ a \le -2 \end{cases}$

Система имеет единственное решение $a = -2$.

Ответ: $a = -2$.

б) возрастает на отрезке $\left[a - \frac{1}{2}; 2a + 2\right]$

Чтобы функция возрастала на заданном отрезке, он должен целиком содержаться в одном из промежутков возрастания: либо в $(-\infty, -1]$, либо в $[1, +\infty)$.

Прежде всего, отрезок должен быть корректно определен, то есть его левая граница не должна превышать правую:

$a - \frac{1}{2} \le 2a + 2 \implies -a \le 2 + \frac{1}{2} \implies -a \le \frac{5}{2} \implies a \ge -2,5$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) Отрезок $\left[a - \frac{1}{2}; 2a + 2\right]$ содержится в $(-\infty, -1]$. Для этого его правая граница должна быть не больше -1:

$2a + 2 \le -1 \implies 2a \le -3 \implies a \le -1,5$.

Учитывая условие $a \ge -2,5$, получаем решение для первого случая: $a \in [-2,5; -1,5]$.

2) Отрезок $\left[a - \frac{1}{2}; 2a + 2\right]$ содержится в $[1, +\infty)$. Для этого его левая граница должна быть не меньше 1:

$a - \frac{1}{2} \ge 1 \implies a \ge 1 + \frac{1}{2} \implies a \ge 1,5$.

Это решение также удовлетворяет условию $a \ge -2,5$.

Объединив решения обоих случаев, получим итоговый результат.

Ответ: $a \in [-2,5; -1,5] \cup [1,5; +\infty)$.

в) убывает на отрезке $\left[a - 3; \frac{1}{6}a + \frac{2}{3}\right]$

Аналогично пункту а), данный отрезок должен полностью входить в промежуток убывания $[-1, 1]$.

Сначала проверим, при каких $a$ отрезок существует:

$a - 3 \le \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} \implies a - \frac{1}{6}a \le 3 + \frac{2}{3} \implies \frac{5}{6}a \le \frac{11}{3} \implies a \le \frac{11}{3} \cdot \frac{6}{5} \implies a \le \frac{22}{5} \implies a \le 4,4$.

Теперь запишем условие вложенности в отрезок $[-1, 1]$ в виде системы:

$\begin{cases} a - 3 \ge -1 \\ \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} \le 1 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} a \ge 2 \\ \frac{1}{6}a \le 1 - \frac{2}{3} \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge 2 \\ \frac{1}{6}a \le \frac{1}{3} \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge 2 \\ a \le 2 \end{cases}$

Единственное решение системы — $a = 2$. Это значение удовлетворяет условию существования отрезка ($2 \le 4,4$).

Ответ: $a = 2$.

г) возрастает на отрезке $[a - 2,5; a - 0,5]$

Аналогично пункту б), данный отрезок должен целиком содержаться в одном из промежутков возрастания: $(-\infty, -1]$ или $[1, +\infty)$.

Условие существования отрезка $a - 2,5 \le a - 0,5$ (или $-2,5 \le -0,5$) выполняется для любого $a$.

Рассмотрим два случая:

1) Отрезок $[a - 2,5; a - 0,5]$ содержится в $(-\infty, -1]$. Это означает, что его правая граница не превышает -1:

$a - 0,5 \le -1 \implies a \le -1 + 0,5 \implies a \le -0,5$.

2) Отрезок $[a - 2,5; a - 0,5]$ содержится в $[1, +\infty)$. Это означает, что его левая граница не меньше 1:

$a - 2,5 \ge 1 \implies a \ge 1 + 2,5 \implies a \ge 3,5$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in (-\infty; -0,5] \cup [3,5; +\infty)$.