Страница 270, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

При каких значениях параметра a функция возрастает на всей числовой прямой:

44.31. a) $y = x^3 + ax;$

б) $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3?$

а) $y = x^3 + ax$

Для того чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неотрицательна для всех действительных значений $x$, то есть $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную данной функции:

$y' = (x^3 + ax)' = 3x^2 + a$

Теперь необходимо решить неравенство:

$3x^2 + a \ge 0$

Выражение в левой части представляет собой квадратичную функцию от $x$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($3 > 0$).

Такая парабола будет целиком лежать не ниже оси абсцисс (то есть, неравенство будет выполняться для всех $x$), если ее вершина находится на оси $x$ или выше нее. Наименьшее значение выражения $3x^2$ равно 0 и достигается при $x=0$. Следовательно, наименьшее значение для $3x^2 + a$ равно $a$.

Таким образом, условие $3x^2 + a \ge 0$ выполняется для всех $x$ тогда и только тогда, когда $a \ge 0$.

В качестве альтернативного подхода можно использовать дискриминант. Квадратный трехчлен $Ax^2+Bx+C$ с $A>0$ неотрицателен для всех $x$, если уравнение $Ax^2+Bx+C=0$ имеет не более одного корня, что соответствует условию $D \le 0$.

Для уравнения $3x^2 + 0 \cdot x + a = 0$ дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 3 \cdot a = -12a$.

Решаем неравенство $D \le 0$:

$-12a \le 0$

$a \ge 0$

Ответ: $a \ge 0$.

б) $y = \frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3$

Аналогично пункту а), функция возрастает на всей числовой прямой, если ее производная $y'(x) \ge 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$y' = (\frac{x^3}{3} - ax^2 + 5x - 3)' = \frac{3x^2}{3} - 2ax + 5 = x^2 - 2ax + 5$

Теперь необходимо, чтобы неравенство $x^2 - 2ax + 5 \ge 0$ выполнялось для всех действительных $x$.

Выражение в левой части — это квадратичный трехчлен с положительным старшим коэффициентом ($1 > 0$), его график — парабола с ветвями вверх. Неравенство будет выполняться для всех $x$, если парабола не пересекает ось абсцисс или касается ее в одной точке. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $x^2 - 2ax + 5 = 0$ должно иметь не более одного действительного корня. Это условие выполняется, когда дискриминант $D$ меньше или равен нулю.

Вычислим дискриминант для уравнения $x^2 - 2ax + 5 = 0$:

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4a^2 - 20$

Решим неравенство $D \le 0$:

$4a^2 - 20 \le 0$

$4a^2 \le 20$

$a^2 \le 5$

Решением этого неравенства является интервал:

$-\sqrt{5} \le a \le \sqrt{5}$

Ответ: $a \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

44.32. а) $y = ax - \cos x;$ б) $y = 2 \sin 2x - ax?$

а) $y = ax - \cos x$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, ее производная $y'$ должна быть неотрицательной для всех действительных значений $x$, то есть $y' \ge 0$. При этом равенство нулю должно достигаться лишь в отдельных (изолированных) точках.

Найдем производную данной функции:

$y' = (ax - \cos x)' = a - (-\sin x) = a + \sin x$.

Теперь решим неравенство $y' \ge 0$ относительно $x$:

$a + \sin x \ge 0$

$a \ge -\sin x$

Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Это означает, что параметр $a$ должен быть больше или равен максимальному значению функции $f(x) = -\sin x$.

Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, область значений функции $-\sin x$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Максимальное значение выражения $-\sin x$ равно 1. Это значение достигается при $\sin x = -1$, например, при $x = -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, для того чтобы неравенство $a \ge -\sin x$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы $a \ge 1$.

Если $a=1$, то $y' = 1 + \sin x$. Поскольку $\sin x \ge -1$, то $1 + \sin x \ge 0$. Производная равна нулю в точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Это изолированные точки, поэтому функция возрастает.

Если $a > 1$, то $y' = a + \sin x \ge a - 1 > 0$, так как $\sin x \ge -1$. В этом случае производная всегда строго положительна, и функция строго возрастает.

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой при $a \ge 1$.

Ответ: $a \in [1, +\infty)$.

б) $y = 2\sin 2x - ax$

Аналогично пункту а), для возрастания функции на всей числовой прямой необходимо и достаточно, чтобы ее производная $y'$ была неотрицательна для всех $x \in \mathbb{R}$ ($y' \ge 0$), причем равенство нулю достигалось лишь в изолированных точках.

Найдем производную данной функции:

$y' = (2\sin 2x - ax)' = 2 \cdot (\cos 2x) \cdot (2x)' - a = 4\cos 2x - a$.

Решим неравенство $y' \ge 0$:

$4\cos 2x - a \ge 0$

$4\cos 2x \ge a$

Это неравенство должно выполняться для всех значений $x$. Это означает, что параметр $a$ должен быть меньше или равен минимальному значению функции $g(x) = 4\cos 2x$.

Область значений функции $\cos 2x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений функции $4\cos 2x$ — это отрезок $[-4, 4]$.

Минимальное значение выражения $4\cos 2x$ равно -4. Это значение достигается при $\cos 2x = -1$, например, при $2x = \pi$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, для того чтобы неравенство $a \le 4\cos 2x$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы $a \le -4$.

Если $a = -4$, то $y' = 4\cos 2x - (-4) = 4\cos 2x + 4 = 4(1 + \cos 2x)$. Поскольку $\cos 2x \ge -1$, то $1 + \cos 2x \ge 0$, и следовательно $y' \ge 0$. Производная равна нулю в точках, где $\cos 2x = -1$, то есть при $2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Это изолированные точки, поэтому функция возрастает.

Если $a < -4$, то $y' = 4\cos 2x - a \ge 4(-1) - a = -4 - a > 0$. В этом случае производная всегда строго положительна, и функция строго возрастает.

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой при $a \le -4$.

Ответ: $a \in (-\infty, -4]$.

44.33. При каких значениях параметра b функция убывает на всей области определения:

а) $y = 7 + bx - x^2 - x^3;$

б) $y = -2\sqrt{x + 3} + bx;$

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21;$

г) $y = -2bx + \sqrt{1 - x}?$

а)

Для того чтобы функция $y = 7 + bx - x^2 - x^3$ убывала на всей своей области определения, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неположительна ($y' \le 0$) для всех действительных чисел $x$.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (7 + bx - x^2 - x^3)' = b - 2x - 3x^2 = -3x^2 - 2x + b$.

3. Условие убывания функции: $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

$-3x^2 - 2x + b \le 0$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Графиком функции $f(x) = -3x^2 - 2x + b$ является парабола, ветви которой направлены вниз (старший коэффициент $-3 < 0$). Такая парабола будет целиком лежать не выше оси абсцисс ($f(x) \le 0$) тогда и только тогда, когда она имеет не более одной точки пересечения с этой осью, то есть ее дискриминант $D$ должен быть неположительным.

4. Вычислим дискриминант и решим неравенство $D \le 0$:

$D = (-2)^2 - 4(-3)b = 4 + 12b$.

$4 + 12b \le 0 \implies 12b \le -4 \implies b \le -\frac{4}{12} \implies b \le -\frac{1}{3}$.

Ответ: $b \in (-\infty; -1/3]$.

б)

Функция $y = -2\sqrt{x+3} + bx$ убывает на всей области определения, если ее производная $y' \le 0$ во всех внутренних точках области определения.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Таким образом, $D(y) = [-3; +\infty)$.

2. Найдем производную функции при $x > -3$:

$y' = (-2\sqrt{x+3} + bx)' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} + b = b - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

3. Условие убывания функции: $y' \le 0$ для всех $x \in (-3; +\infty)$.

$b - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \le 0 \implies b \le \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x > -3$. Это означает, что $b$ должно быть меньше или равно наименьшему значению (инфимуму) выражения $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ на интервале $(-3; +\infty)$.

Функция $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ является положительной и убывающей на этом интервале. Ее инфимум достигается при $x \to +\infty$ и равен $0$.

Следовательно, $b \le 0$. При $b \le 0$ производная $y' = b - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ является суммой неположительного числа $b$ и отрицательного числа $-\frac{1}{\sqrt{x+3}}$, поэтому $y' < 0$ для всех $x > -3$. Функция непрерывна на $[-3, +\infty)$, следовательно, она убывает на всей области определения.

Ответ: $b \in (-\infty; 0]$.

в)

Для убывания функции $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21$ на всей области определения ее производная должна быть неположительна.

1. Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную:

$y' = (x^3 + bx^2 + 3x + 21)' = 3x^2 + 2bx + 3$.

3. Условие убывания: $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

$3x^2 + 2bx + 3 \le 0$.

Графиком квадратичной функции $f(x) = 3x^2 + 2bx + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (старший коэффициент $3 > 0$). Такая парабола не может принимать только неположительные значения на всей числовой прямой, поскольку при $x \to \pm\infty$, значения $f(x) \to +\infty$.

Таким образом, не существует такого значения параметра $b$, при котором функция убывала бы на всей области определения.

Ответ: таких значений $b$ не существует.

г)

Функция $y = -2bx + \sqrt{1-x}$ убывает на всей области определения, если ее производная $y' \le 0$ во всех внутренних точках области определения.

1. Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.

Таким образом, $D(y) = (-\infty; 1]$.

2. Найдем производную функции при $x < 1$:

$y' = (-2bx + \sqrt{1-x})' = -2b + \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} = -2b - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

3. Условие убывания: $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; 1)$.

$-2b - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \le 0$.

Выражение $\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ всегда строго положительно при $x < 1$. Следовательно, слагаемое $-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ всегда строго отрицательно.

Если $b \ge 0$, то $-2b \le 0$. В этом случае производная $y'$ есть сумма неположительного и отрицательного слагаемых, то есть $y' < 0$. Условие выполняется.

Если $b < 0$, то $-2b > 0$. Неравенство можно переписать в виде $-2b \le \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$. Так как $-2b$ — положительная константа, а выражение $\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ стремится к $0$ при $x \to -\infty$, то для достаточно больших по модулю отрицательных $x$ неравенство выполняться не будет. Следовательно, условие не будет выполняться для всех $x$ из области определения.

Таким образом, условие убывания на всей области определения выполняется только при $b \ge 0$.

Ответ: $b \in [0; +\infty)$.

44.34. При каких значениях параметра а функция $y = x^3 - 3x$:

а) убывает на отрезке $[a + 1; a + 3];$

б) возрастает на отрезке $[a - \frac{1}{2}; 2a + 2];$

в) убывает на отрезке $[a - 3; \frac{1}{6}a + \frac{2}{3}];$

г) возрастает на отрезке $[a - 2,5; a - 0,5]?$

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ функция $y = x^3 - 3x$ возрастает или убывает на заданных отрезках, сначала исследуем ее на монотонность. Для этого найдем ее производную.

$y' = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3(x-1)(x+1) = 0$

Критическими точками являются $x = -1$ и $x = 1$. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала. Определим знак производной на каждом из них:

• На интервале $(-\infty, -1)$ производная $y' > 0$, значит, функция возрастает.
• На интервале $(-1, 1)$ производная $y' < 0$, значит, функция убывает.
• На интервале $(1, +\infty)$ производная $y' > 0$, значит, функция возрастает.

Таким образом, функция $y = x^3 - 3x$:

• строго возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$;
• строго убывает на промежутке $[-1, 1]$.

Теперь решим каждую из поставленных задач.

а) убывает на отрезке $[a + 1; a + 3]$

Чтобы функция убывала на отрезке $[a + 1; a + 3]$, этот отрезок должен целиком содержаться в промежутке убывания функции, то есть в отрезке $[-1, 1]$.

Это требование можно записать в виде системы неравенств:

$\begin{cases} a + 1 \ge -1 \\ a + 3 \le 1 \end{cases}$

Решим данную систему:

$\begin{cases} a \ge -2 \\ a \le -2 \end{cases}$

Система имеет единственное решение $a = -2$.

Ответ: $a = -2$.

б) возрастает на отрезке $\left[a - \frac{1}{2}; 2a + 2\right]$

Чтобы функция возрастала на заданном отрезке, он должен целиком содержаться в одном из промежутков возрастания: либо в $(-\infty, -1]$, либо в $[1, +\infty)$.

Прежде всего, отрезок должен быть корректно определен, то есть его левая граница не должна превышать правую:

$a - \frac{1}{2} \le 2a + 2 \implies -a \le 2 + \frac{1}{2} \implies -a \le \frac{5}{2} \implies a \ge -2,5$.

Рассмотрим два возможных случая:

1) Отрезок $\left[a - \frac{1}{2}; 2a + 2\right]$ содержится в $(-\infty, -1]$. Для этого его правая граница должна быть не больше -1:

$2a + 2 \le -1 \implies 2a \le -3 \implies a \le -1,5$.

Учитывая условие $a \ge -2,5$, получаем решение для первого случая: $a \in [-2,5; -1,5]$.

2) Отрезок $\left[a - \frac{1}{2}; 2a + 2\right]$ содержится в $[1, +\infty)$. Для этого его левая граница должна быть не меньше 1:

$a - \frac{1}{2} \ge 1 \implies a \ge 1 + \frac{1}{2} \implies a \ge 1,5$.

Это решение также удовлетворяет условию $a \ge -2,5$.

Объединив решения обоих случаев, получим итоговый результат.

Ответ: $a \in [-2,5; -1,5] \cup [1,5; +\infty)$.

в) убывает на отрезке $\left[a - 3; \frac{1}{6}a + \frac{2}{3}\right]$

Аналогично пункту а), данный отрезок должен полностью входить в промежуток убывания $[-1, 1]$.

Сначала проверим, при каких $a$ отрезок существует:

$a - 3 \le \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} \implies a - \frac{1}{6}a \le 3 + \frac{2}{3} \implies \frac{5}{6}a \le \frac{11}{3} \implies a \le \frac{11}{3} \cdot \frac{6}{5} \implies a \le \frac{22}{5} \implies a \le 4,4$.

Теперь запишем условие вложенности в отрезок $[-1, 1]$ в виде системы:

$\begin{cases} a - 3 \ge -1 \\ \frac{1}{6}a + \frac{2}{3} \le 1 \end{cases}$

Решим систему:

$\begin{cases} a \ge 2 \\ \frac{1}{6}a \le 1 - \frac{2}{3} \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge 2 \\ \frac{1}{6}a \le \frac{1}{3} \end{cases} \implies \begin{cases} a \ge 2 \\ a \le 2 \end{cases}$

Единственное решение системы — $a = 2$. Это значение удовлетворяет условию существования отрезка ($2 \le 4,4$).

Ответ: $a = 2$.

г) возрастает на отрезке $[a - 2,5; a - 0,5]$

Аналогично пункту б), данный отрезок должен целиком содержаться в одном из промежутков возрастания: $(-\infty, -1]$ или $[1, +\infty)$.

Условие существования отрезка $a - 2,5 \le a - 0,5$ (или $-2,5 \le -0,5$) выполняется для любого $a$.

Рассмотрим два случая:

1) Отрезок $[a - 2,5; a - 0,5]$ содержится в $(-\infty, -1]$. Это означает, что его правая граница не превышает -1:

$a - 0,5 \le -1 \implies a \le -1 + 0,5 \implies a \le -0,5$.

2) Отрезок $[a - 2,5; a - 0,5]$ содержится в $[1, +\infty)$. Это означает, что его левая граница не меньше 1:

$a - 2,5 \ge 1 \implies a \ge 1 + 2,5 \implies a \ge 3,5$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in (-\infty; -0,5] \cup [3,5; +\infty)$.

44.35. a) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^3 - 3x^2 + 7$ возрастает на интервале $(a - 1; a + 1)$?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = -x^3 + 3x + 5$ убывает на интервале $(a; a + \frac{1}{2})$?

а) Для того чтобы функция $y = 2x^3 - 3x^2 + 7$ возрастала на некотором интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная на этом интервале была неотрицательной ($y' \ge 0$).
Найдем производную функции:
$y' = (2x^3 - 3x^2 + 7)' = 6x^2 - 6x$.
Теперь определим промежутки, на которых $y' \ge 0$:
$6x^2 - 6x \ge 0$
$6x(x - 1) \ge 0$
Решая данное квадратное неравенство (например, методом интервалов), находим, что производная неотрицательна при $x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$. Это и есть промежутки возрастания функции.
Согласно условию задачи, функция должна возрастать на интервале $(a - 1; a + 1)$. Это означает, что указанный интервал должен целиком входить в область возрастания функции. То есть, интервал $(a - 1; a + 1)$ должен быть подмножеством одного из промежутков: $(-\infty; 0]$ или $[1; +\infty)$.
Рассмотрим два возможных случая:
1) Интервал $(a - 1; a + 1)$ содержится в промежутке $(-\infty; 0]$. Для этого необходимо, чтобы правая граница интервала $(a - 1; a + 1)$ была меньше или равна 0:
$a + 1 \le 0$
$a \le -1$
2) Интервал $(a - 1; a + 1)$ содержится в промежутке $[1; +\infty)$. Для этого необходимо, чтобы левая граница интервала $(a - 1; a + 1)$ была больше или равна 1:
$a - 1 \ge 1$
$a \ge 2$
Объединив решения обоих случаев, получаем искомые значения параметра $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

б) Для того чтобы функция $y = -x^3 + 3x + 5$ убывала на некотором интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная на этом интервале была неположительной ($y' \le 0$).
Найдем производную функции:
$y' = (-x^3 + 3x + 5)' = -3x^2 + 3$.
Теперь определим промежутки, на которых $y' \le 0$:
$-3x^2 + 3 \le 0$
$3(1 - x^2) \le 0$
$1 - x^2 \le 0$
$(1 - x)(1 + x) \le 0$
Решая данное неравенство, находим, что производная неположительна при $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Это и есть промежутки убывания функции.
Согласно условию задачи, функция должна убывать на интервале $(a; a + \frac{1}{2})$. Это означает, что данный интервал должен полностью содержаться в области убывания функции. То есть, интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ должен быть подмножеством одного из промежутков: $(-\infty; -1]$ или $[1; +\infty)$.
Рассмотрим два возможных случая:
1) Интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ содержится в промежутке $(-\infty; -1]$. Для этого необходимо, чтобы правая граница интервала $(a; a + \frac{1}{2})$ была меньше или равна -1:
$a + \frac{1}{2} \le -1$
$a \le -1 - \frac{1}{2}$
$a \le -1.5$
2) Интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ содержится в промежутке $[1; +\infty)$. Для этого необходимо, чтобы левая граница интервала $(a; a + \frac{1}{2})$ была больше или равна 1:
$a \ge 1$
Объединив решения обоих случаев, получаем искомые значения параметра $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1.5] \cup [1; +\infty)$.

44.36. По графику функции $y = f(x)$, $x \in R$, изображённому на заданном рисунке, определите точки, в которых её производная обращается в 0:

а) рис. 117;

б) рис. 118;

в) рис. 119;

г) рис. 120.

Рис. 117

а) рис. 117

Геометрический смысл производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ заключается в том, что её значение равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$.

Условие, что производная обращается в 0, то есть $f'(x) = 0$, означает, что касательная к графику функции в этой точке является горизонтальной линией (параллельна оси абсцисс Ox).

Рассмотрим график функции, изображённый на рисунке 117, и проанализируем поведение функции в указанных точках:

• В точке b функция достигает локального максимума. В этой точке график имеет гладкую вершину, и касательная к нему будет горизонтальной. Следовательно, в точке b производная равна нулю: $f'(b) = 0$.
• В точке d функция достигает локального минимума. В этой точке график также имеет гладкую впадину, и касательная к нему будет горизонтальной. Следовательно, в точке d производная равна нулю: $f'(d) = 0$.
• В точках a и c функция убывает. Касательные, проведённые к графику в этих точках, имеют отрицательный наклон, поэтому производная в этих точках отрицательна: $f'(a) < 0$ и $f'(c) < 0$.
• В точке e график имеет излом (острый пик). В таких точках функция не является дифференцируемой, то есть производная в точке e не существует.

Таким образом, производная функции $y=f(x)$ обращается в 0 в точках, которые являются точками гладкого экстремума (максимума или минимума). На данном графике это точки b и d.

Ответ: b, d.