Страница 271, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Вычислите: $i \cdot 2i \cdot 3i \cdot 4i \cdot 5i.$

1. Чтобы вычислить значение данного выражения, необходимо перемножить все его члены. Воспользуемся переместительным и сочетательным свойствами умножения, чтобы сгруппировать отдельно числовые коэффициенты и мнимые единицы.

Выражение: $i \cdot 2i \cdot 3i \cdot 4i \cdot 5i$

Сгруппируем сомножители:

$(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (i \cdot i \cdot i \cdot i \cdot i)$

Сначала вычислим произведение числовых коэффициентов:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 6 \cdot 4 \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$

Затем вычислим произведение мнимых единиц:

$i \cdot i \cdot i \cdot i \cdot i = i^5$

Теперь определим значение $i^5$. Степени мнимой единицы $i$ цикличны с периодом 4:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = i^2 \cdot i = -i$

$i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$

Используя это, мы можем упростить $i^5$:

$i^5 = i^{4+1} = i^4 \cdot i^1 = 1 \cdot i = i$

Наконец, перемножим полученные результаты:

$120 \cdot i = 120i$

Ответ: $120i$

2. Вычислите: $i^{-1}$, $\bar{i}$, $(-i)^{-1}$, $\overline{-i}$.

Для вычисления значения выражения $i^{-1} \cdot \overline{i} \cdot (-i)^{-1} \cdot \overline{-i}$ найдем значение каждого сомножителя по отдельности. В комплексных числах $i$ — это мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$. Черта сверху над комплексным числом означает операцию комплексного сопряжения: для числа $z = a+bi$ сопряженное число равно $\overline{z} = a-bi$.

1. Найдем $i^{-1}$.
Степень $-1$ означает обратное число: $i^{-1} = \frac{1}{i}$.
Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $i$:
$\frac{1}{i} = \frac{1 \cdot i}{i \cdot i} = \frac{i}{i^2} = \frac{i}{-1} = -i$.

2. Найдем $\overline{i}$.
Число $i$ можно представить в алгебраической форме как $0 + 1i$. Комплексно сопряженное к нему будет $0 - 1i$, что равно $-i$.
Таким образом, $\overline{i} = -i$.

3. Найдем $(-i)^{-1}$.
Аналогично первому пункту, $(-i)^{-1} = \frac{1}{-i}$.
Умножим числитель и знаменатель на $i$:
$\frac{1}{-i} = \frac{1 \cdot i}{-i \cdot i} = \frac{i}{-i^2} = \frac{i}{-(-1)} = \frac{i}{1} = i$.

4. Найдем $\overline{-i}$.
Число $-i$ можно представить как $0 - 1i$. Комплексно сопряженное к нему будет $0 + 1i$, что равно $i$.
Таким образом, $\overline{-i} = i$.

Теперь подставим все вычисленные значения обратно в исходное выражение:
$i^{-1} \cdot \overline{i} \cdot (-i)^{-1} \cdot \overline{-i} = (-i) \cdot (-i) \cdot (i) \cdot (i)$.

Выполним умножение полученных значений:
$(-i) \cdot (-i) \cdot (i) \cdot (i) = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1$.

Альтернативный способ:
Можно сгруппировать множители и использовать свойства операций с комплексными числами: $\overline{z_1} \cdot \overline{z_2} = \overline{z_1 \cdot z_2}$ и $z_1^{-1} \cdot z_2^{-1} = (z_1 \cdot z_2)^{-1}$.
$i^{-1} \cdot \overline{i} \cdot (-i)^{-1} \cdot \overline{-i} = (i^{-1} \cdot (-i)^{-1}) \cdot (\overline{i} \cdot \overline{-i})$
Вычислим значение в каждой скобке:
$i^{-1} \cdot (-i)^{-1} = (i \cdot (-i))^{-1} = (-i^2)^{-1} = (-(-1))^{-1} = 1^{-1} = 1$.
$\overline{i} \cdot \overline{-i} = \overline{i \cdot (-i)} = \overline{-i^2} = \overline{-(-1)} = \overline{1} = 1$.
Результат произведения: $1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: 1

3. Сформулируйте критерий равенства комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$.

Два комплексных числа, записанные в алгебраической форме $z_1 = a + bi$ и $z_2 = c + di$, где $a, b, c, d$ являются действительными числами, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$), считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части.

В комплексном числе $z = a + bi$ число $a$ называется действительной (вещественной) частью и обозначается $Re(z)$, а число $b$ называется мнимой частью и обозначается $Im(z)$.

Таким образом, критерий равенства двух комплексных чисел $a + bi$ и $c + di$ заключается в одновременном выполнении двух условий:
1. Равенство действительных частей: $a = c$.
2. Равенство мнимых частей: $b = d$.

Это условие можно записать в виде системы уравнений:$a + bi = c + di \iff \begin{cases} a = c \\ b = d \end{cases}$

Геометрически это означает, что равные комплексные числа соответствуют одной и той же точке на комплексной плоскости.

Ответ: Два комплексных числа $a+bi$ и $c+di$ равны тогда и только тогда, когда их действительные части равны ($a=c$) и одновременно их мнимые части равны ($b=d$).

4. Найдите z, если известно, что $\bar{z} = -3 + 4i$.

4.

По определению, комплексно-сопряженное число к комплексному числу $z = a + bi$ (где $a$ - действительная часть, $b$ - мнимая часть) — это число $\bar{z} = a - bi$. То есть, для нахождения сопряженного числа нужно изменить знак его мнимой части.

Свойство операции комплексного сопряжения заключается в том, что сопряженное к сопряженному числу есть само исходное число: $\overline{(\bar{z})} = z$.

В условии задачи дано сопряженное число:

$\bar{z} = -3 + 4i$

Чтобы найти исходное число $z$, нам нужно взять сопряженное от числа $\bar{z}$. Для этого мы должны изменить знак мнимой части числа $\bar{z}$.

Действительная часть числа $\bar{z}$ равна $-3$.

Мнимая часть числа $\bar{z}$ равна $+4i$.

Изменяем знак мнимой части с $'+'$ на $'-'$:

$z = \overline{(-3 + 4i)} = -3 - 4i$

Таким образом, искомое комплексное число $z$ равно $-3 - 4i$.

Ответ: $z = -3 - 4i$

Рис. 118

Рис. 119

Рис. 120

44.37. По графику функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, изображённому на заданном рисунке, определите точки, в которых производная не существует:

а) рис. 117;

б) рис. 118;

в) рис. 119;

г) рис. 120.

Производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ существует тогда и только тогда, когда график функции в этой точке имеет единственную невертикальную касательную. Это означает, что график должен быть "гладким" в этой точке, без разрывов, резких изломов (углов) или каспов (острых пиков). Во всех задачах, представленных на рисунках, функции непрерывны. Следовательно, производная не будет существовать в точках, где график имеет изломы, так как в этих точках предел отношения приращения функции к приращению аргумента слева не равен пределу справа: $f'_{-}(x_0) \ne f'_{+}(x_0)$.

а) рис. 117;

Рисунок 117 в предоставленном изображении отсутствует, поэтому определить точки, в которых производная не существует, для этого графика невозможно.

б) рис. 118;

На графике, изображенном на рисунке 118, функция имеет три точки излома: $a$, $b$ и $c$. В точке $x = a$ и $x = c$ находятся острые минимумы (впадины), а в точке $x = b$ — острый максимум (пик). В каждой из этих точек касательная слева и касательная справа имеют разные наклоны, поэтому провести единственную касательную невозможно. Следовательно, производная в точках $a$, $b$ и $c$ не существует.
Ответ: $a, b, c$.

в) рис. 119;

На графике, изображенном на рисунке 119, функция также имеет изломы в точках $a$, $b$ и $c$. В точке $x = a$ находится острый минимум, а в точках $x = b$ и $x = c$ — острые максимумы. В этих точках график резко меняет направление, образуя "углы". Поэтому производная в точках $a, b$ и $c$ не существует.
Ответ: $a, b, c$.

г) рис. 120.

График на рисунке 120 является непрерывной кусочно-линейной функцией. Производная такой функции существует и постоянна на каждом линейном участке, но не существует в точках соединения отрезков с разным наклоном (в точках излома). На данном графике изломы происходят в точках $b, c, d, e$. В точке $a$ излома нет, она является внутренней точкой прямолинейного отрезка, поэтому производная в этой точке существует. В точках $b$ и $d$ находятся пики, а в точках $c$ и $e$ — впадины. В этих четырех точках производная не существует.
Ответ: $b, c, d, e$.

44.38. При каких значениях параметра a заданная функция имеет одну стационарную точку:

а) $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5;$

б) $y = x^3 - 3ax^2 + 75x - 10?$

Стационарные точки функции — это точки, в которых её производная равна нулю. Чтобы найти значения параметра $a$, при которых данная функция имеет одну стационарную точку, необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и потребовать, чтобы полученное уравнение имело ровно одно решение.

а) $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$

Находим производную функции $y(x)$ по переменной $x$:

$y'(x) = (x^3 - 3ax^2 + 27x - 5)' = 3x^2 - 6ax + 27$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения стационарных точек:

$3x^2 - 6ax + 27 = 0$.

Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 2ax + 9 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно будет иметь ровно одно решение в том и только в том случае, если его дискриминант $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант $D$ для этого уравнения, где коэффициенты $A=1$, $B=-2a$, $C=9$:

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4a^2 - 36$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$4a^2 - 36 = 0$

$4a^2 = 36$

$a^2 = \frac{36}{4}$

$a^2 = 9$

$a = \pm 3$.

Следовательно, функция имеет одну стационарную точку при $a = 3$ и $a = -3$.

Ответ: $a = \pm 3$.

б) $y = x^3 - 3ax^2 + 75x - 10$

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (x^3 - 3ax^2 + 75x - 10)' = 3x^2 - 6ax + 75$.

Приравниваем производную к нулю:

$3x^2 - 6ax + 75 = 0$.

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 2ax + 25 = 0$.

Данное квадратное уравнение будет иметь ровно одно решение, если его дискриминант $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант $D$, где $A=1$, $B=-2a$, $C=25$:

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 4a^2 - 100$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$4a^2 - 100 = 0$

$4a^2 = 100$

$a^2 = \frac{100}{4}$

$a^2 = 25$

$a = \pm 5$.

Следовательно, функция имеет одну стационарную точку при $a = 5$ и $a = -5$.

Ответ: $a = \pm 5$.