Номер 44.38, страница 271, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.38. При каких значениях параметра a заданная функция имеет одну стационарную точку:

а) $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5;$

б) $y = x^3 - 3ax^2 + 75x - 10?$

Стационарные точки функции — это точки, в которых её производная равна нулю. Чтобы найти значения параметра $a$, при которых данная функция имеет одну стационарную точку, необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю и потребовать, чтобы полученное уравнение имело ровно одно решение.

а) $y = x^3 - 3ax^2 + 27x - 5$

Находим производную функции $y(x)$ по переменной $x$:

$y'(x) = (x^3 - 3ax^2 + 27x - 5)' = 3x^2 - 6ax + 27$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения стационарных точек:

$3x^2 - 6ax + 27 = 0$.

Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 2ax + 9 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно будет иметь ровно одно решение в том и только в том случае, если его дискриминант $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант $D$ для этого уравнения, где коэффициенты $A=1$, $B=-2a$, $C=9$:

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 4a^2 - 36$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$4a^2 - 36 = 0$

$4a^2 = 36$

$a^2 = \frac{36}{4}$

$a^2 = 9$

$a = \pm 3$.

Следовательно, функция имеет одну стационарную точку при $a = 3$ и $a = -3$.

Ответ: $a = \pm 3$.

б) $y = x^3 - 3ax^2 + 75x - 10$

Находим производную функции $y(x)$:

$y'(x) = (x^3 - 3ax^2 + 75x - 10)' = 3x^2 - 6ax + 75$.

Приравниваем производную к нулю:

$3x^2 - 6ax + 75 = 0$.

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 - 2ax + 25 = 0$.

Данное квадратное уравнение будет иметь ровно одно решение, если его дискриминант $D$ равен нулю.

Вычислим дискриминант $D$, где $A=1$, $B=-2a$, $C=25$:

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 = 4a^2 - 100$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$4a^2 - 100 = 0$

$4a^2 = 100$

$a^2 = \frac{100}{4}$

$a^2 = 25$

$a = \pm 5$.

Следовательно, функция имеет одну стационарную точку при $a = 5$ и $a = -5$.

Ответ: $a = \pm 5$.