Номер 44.32, страница 270, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.32. а) $y = ax - \cos x;$ б) $y = 2 \sin 2x - ax?$

а) $y = ax - \cos x$

Чтобы функция возрастала на всей числовой прямой, ее производная $y'$ должна быть неотрицательной для всех действительных значений $x$, то есть $y' \ge 0$. При этом равенство нулю должно достигаться лишь в отдельных (изолированных) точках.

Найдем производную данной функции:

$y' = (ax - \cos x)' = a - (-\sin x) = a + \sin x$.

Теперь решим неравенство $y' \ge 0$ относительно $x$:

$a + \sin x \ge 0$

$a \ge -\sin x$

Это неравенство должно выполняться для любого значения $x$. Это означает, что параметр $a$ должен быть больше или равен максимальному значению функции $f(x) = -\sin x$.

Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Соответственно, область значений функции $-\sin x$ также является отрезком $[-1, 1]$.

Максимальное значение выражения $-\sin x$ равно 1. Это значение достигается при $\sin x = -1$, например, при $x = -\frac{\pi}{2}$.

Таким образом, для того чтобы неравенство $a \ge -\sin x$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы $a \ge 1$.

Если $a=1$, то $y' = 1 + \sin x$. Поскольку $\sin x \ge -1$, то $1 + \sin x \ge 0$. Производная равна нулю в точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Это изолированные точки, поэтому функция возрастает.

Если $a > 1$, то $y' = a + \sin x \ge a - 1 > 0$, так как $\sin x \ge -1$. В этом случае производная всегда строго положительна, и функция строго возрастает.

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой при $a \ge 1$.

Ответ: $a \in [1, +\infty)$.

б) $y = 2\sin 2x - ax$

Аналогично пункту а), для возрастания функции на всей числовой прямой необходимо и достаточно, чтобы ее производная $y'$ была неотрицательна для всех $x \in \mathbb{R}$ ($y' \ge 0$), причем равенство нулю достигалось лишь в изолированных точках.

Найдем производную данной функции:

$y' = (2\sin 2x - ax)' = 2 \cdot (\cos 2x) \cdot (2x)' - a = 4\cos 2x - a$.

Решим неравенство $y' \ge 0$:

$4\cos 2x - a \ge 0$

$4\cos 2x \ge a$

Это неравенство должно выполняться для всех значений $x$. Это означает, что параметр $a$ должен быть меньше или равен минимальному значению функции $g(x) = 4\cos 2x$.

Область значений функции $\cos 2x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений функции $4\cos 2x$ — это отрезок $[-4, 4]$.

Минимальное значение выражения $4\cos 2x$ равно -4. Это значение достигается при $\cos 2x = -1$, например, при $2x = \pi$, то есть $x = \frac{\pi}{2}$.

Таким образом, для того чтобы неравенство $a \le 4\cos 2x$ выполнялось для всех $x$, необходимо, чтобы $a \le -4$.

Если $a = -4$, то $y' = 4\cos 2x - (-4) = 4\cos 2x + 4 = 4(1 + \cos 2x)$. Поскольку $\cos 2x \ge -1$, то $1 + \cos 2x \ge 0$, и следовательно $y' \ge 0$. Производная равна нулю в точках, где $\cos 2x = -1$, то есть при $2x = \pi + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$. Это изолированные точки, поэтому функция возрастает.

Если $a < -4$, то $y' = 4\cos 2x - a \ge 4(-1) - a = -4 - a > 0$. В этом случае производная всегда строго положительна, и функция строго возрастает.

Следовательно, функция возрастает на всей числовой прямой при $a \le -4$.

Ответ: $a \in (-\infty, -4]$.