Номер 44.33, страница 270, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.33. При каких значениях параметра b функция убывает на всей области определения:

а) $y = 7 + bx - x^2 - x^3;$

б) $y = -2\sqrt{x + 3} + bx;$

в) $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21;$

г) $y = -2bx + \sqrt{1 - x}?$

а)

Для того чтобы функция $y = 7 + bx - x^2 - x^3$ убывала на всей своей области определения, необходимо и достаточно, чтобы ее производная была неположительна ($y' \le 0$) для всех действительных чисел $x$.

1. Область определения функции — все действительные числа, так как это многочлен: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (7 + bx - x^2 - x^3)' = b - 2x - 3x^2 = -3x^2 - 2x + b$.

3. Условие убывания функции: $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

$-3x^2 - 2x + b \le 0$.

Это квадратичное неравенство относительно $x$. Графиком функции $f(x) = -3x^2 - 2x + b$ является парабола, ветви которой направлены вниз (старший коэффициент $-3 < 0$). Такая парабола будет целиком лежать не выше оси абсцисс ($f(x) \le 0$) тогда и только тогда, когда она имеет не более одной точки пересечения с этой осью, то есть ее дискриминант $D$ должен быть неположительным.

4. Вычислим дискриминант и решим неравенство $D \le 0$:

$D = (-2)^2 - 4(-3)b = 4 + 12b$.

$4 + 12b \le 0 \implies 12b \le -4 \implies b \le -\frac{4}{12} \implies b \le -\frac{1}{3}$.

Ответ: $b \in (-\infty; -1/3]$.

б)

Функция $y = -2\sqrt{x+3} + bx$ убывает на всей области определения, если ее производная $y' \le 0$ во всех внутренних точках области определения.

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Таким образом, $D(y) = [-3; +\infty)$.

2. Найдем производную функции при $x > -3$:

$y' = (-2\sqrt{x+3} + bx)' = -2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} + b = b - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

3. Условие убывания функции: $y' \le 0$ для всех $x \in (-3; +\infty)$.

$b - \frac{1}{\sqrt{x+3}} \le 0 \implies b \le \frac{1}{\sqrt{x+3}}$.

Это неравенство должно выполняться для всех $x > -3$. Это означает, что $b$ должно быть меньше или равно наименьшему значению (инфимуму) выражения $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ на интервале $(-3; +\infty)$.

Функция $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ является положительной и убывающей на этом интервале. Ее инфимум достигается при $x \to +\infty$ и равен $0$.

Следовательно, $b \le 0$. При $b \le 0$ производная $y' = b - \frac{1}{\sqrt{x+3}}$ является суммой неположительного числа $b$ и отрицательного числа $-\frac{1}{\sqrt{x+3}}$, поэтому $y' < 0$ для всех $x > -3$. Функция непрерывна на $[-3, +\infty)$, следовательно, она убывает на всей области определения.

Ответ: $b \in (-\infty; 0]$.

в)

Для убывания функции $y = x^3 + bx^2 + 3x + 21$ на всей области определения ее производная должна быть неположительна.

1. Область определения — $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную:

$y' = (x^3 + bx^2 + 3x + 21)' = 3x^2 + 2bx + 3$.

3. Условие убывания: $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$.

$3x^2 + 2bx + 3 \le 0$.

Графиком квадратичной функции $f(x) = 3x^2 + 2bx + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх (старший коэффициент $3 > 0$). Такая парабола не может принимать только неположительные значения на всей числовой прямой, поскольку при $x \to \pm\infty$, значения $f(x) \to +\infty$.

Таким образом, не существует такого значения параметра $b$, при котором функция убывала бы на всей области определения.

Ответ: таких значений $b$ не существует.

г)

Функция $y = -2bx + \sqrt{1-x}$ убывает на всей области определения, если ее производная $y' \le 0$ во всех внутренних точках области определения.

1. Найдем область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$1 - x \ge 0 \implies x \le 1$.

Таким образом, $D(y) = (-\infty; 1]$.

2. Найдем производную функции при $x < 1$:

$y' = (-2bx + \sqrt{1-x})' = -2b + \frac{-1}{2\sqrt{1-x}} = -2b - \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$.

3. Условие убывания: $y' \le 0$ для всех $x \in (-\infty; 1)$.

$-2b - \frac{1}{2\sqrt{1-x}} \le 0$.

Выражение $\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ всегда строго положительно при $x < 1$. Следовательно, слагаемое $-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ всегда строго отрицательно.

Если $b \ge 0$, то $-2b \le 0$. В этом случае производная $y'$ есть сумма неположительного и отрицательного слагаемых, то есть $y' < 0$. Условие выполняется.

Если $b < 0$, то $-2b > 0$. Неравенство можно переписать в виде $-2b \le \frac{1}{2\sqrt{1-x}}$. Так как $-2b$ — положительная константа, а выражение $\frac{1}{2\sqrt{1-x}}$ стремится к $0$ при $x \to -\infty$, то для достаточно больших по модулю отрицательных $x$ неравенство выполняться не будет. Следовательно, условие не будет выполняться для всех $x$ из области определения.

Таким образом, условие убывания на всей области определения выполняется только при $b \ge 0$.

Ответ: $b \in [0; +\infty)$.