Номер 44.35, страница 270, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.35. a) При каких значениях параметра $a$ функция $y = 2x^3 - 3x^2 + 7$ возрастает на интервале $(a - 1; a + 1)$?

б) При каких значениях параметра $a$ функция $y = -x^3 + 3x + 5$ убывает на интервале $(a; a + \frac{1}{2})$?

а) Для того чтобы функция $y = 2x^3 - 3x^2 + 7$ возрастала на некотором интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная на этом интервале была неотрицательной ($y' \ge 0$).
Найдем производную функции:
$y' = (2x^3 - 3x^2 + 7)' = 6x^2 - 6x$.
Теперь определим промежутки, на которых $y' \ge 0$:
$6x^2 - 6x \ge 0$
$6x(x - 1) \ge 0$
Решая данное квадратное неравенство (например, методом интервалов), находим, что производная неотрицательна при $x \in (-\infty; 0] \cup [1; +\infty)$. Это и есть промежутки возрастания функции.
Согласно условию задачи, функция должна возрастать на интервале $(a - 1; a + 1)$. Это означает, что указанный интервал должен целиком входить в область возрастания функции. То есть, интервал $(a - 1; a + 1)$ должен быть подмножеством одного из промежутков: $(-\infty; 0]$ или $[1; +\infty)$.
Рассмотрим два возможных случая:
1) Интервал $(a - 1; a + 1)$ содержится в промежутке $(-\infty; 0]$. Для этого необходимо, чтобы правая граница интервала $(a - 1; a + 1)$ была меньше или равна 0:
$a + 1 \le 0$
$a \le -1$
2) Интервал $(a - 1; a + 1)$ содержится в промежутке $[1; +\infty)$. Для этого необходимо, чтобы левая граница интервала $(a - 1; a + 1)$ была больше или равна 1:
$a - 1 \ge 1$
$a \ge 2$
Объединив решения обоих случаев, получаем искомые значения параметра $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$.

б) Для того чтобы функция $y = -x^3 + 3x + 5$ убывала на некотором интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная на этом интервале была неположительной ($y' \le 0$).
Найдем производную функции:
$y' = (-x^3 + 3x + 5)' = -3x^2 + 3$.
Теперь определим промежутки, на которых $y' \le 0$:
$-3x^2 + 3 \le 0$
$3(1 - x^2) \le 0$
$1 - x^2 \le 0$
$(1 - x)(1 + x) \le 0$
Решая данное неравенство, находим, что производная неположительна при $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$. Это и есть промежутки убывания функции.
Согласно условию задачи, функция должна убывать на интервале $(a; a + \frac{1}{2})$. Это означает, что данный интервал должен полностью содержаться в области убывания функции. То есть, интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ должен быть подмножеством одного из промежутков: $(-\infty; -1]$ или $[1; +\infty)$.
Рассмотрим два возможных случая:
1) Интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ содержится в промежутке $(-\infty; -1]$. Для этого необходимо, чтобы правая граница интервала $(a; a + \frac{1}{2})$ была меньше или равна -1:
$a + \frac{1}{2} \le -1$
$a \le -1 - \frac{1}{2}$
$a \le -1.5$
2) Интервал $(a; a + \frac{1}{2})$ содержится в промежутке $[1; +\infty)$. Для этого необходимо, чтобы левая граница интервала $(a; a + \frac{1}{2})$ была больше или равна 1:
$a \ge 1$
Объединив решения обоих случаев, получаем искомые значения параметра $a$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1.5] \cup [1; +\infty)$.