Номер 44.42, страница 272, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.42. По графику $y = f(x)$, изображённому на заданном рисунке, определите, имеет ли функция $y = f(x)$ точки экстремума:

а) рис. 98;

б) рис. 99;

в) рис. 100;

г) рис. 101.

Для того чтобы определить, имеет ли функция $y=f(x)$ точки экстремума по графику её производной $y=f'(x)$, необходимо проанализировать поведение графика $f'(x)$ относительно оси абсцисс ($Ox$).

Точки экстремума функции $f(x)$ соответствуют тем значениям $x$, в которых производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак. Геометрически это означает, что график производной $y=f'(x)$ должен пересекать ось $Ox$.

• Если производная меняет знак с «+» на «–», это точка максимума.
• Если производная меняет знак с «–» на «+», это точка минимума.

Если график производной $f'(x)$ только касается оси $Ox$ (но не пересекает её) или вовсе не имеет с ней общих точек, то у функции $f(x)$ в соответствующих точках или на всей области определения нет экстремумов.

Рассмотрим каждый случай, исходя из типичного вида графиков для подобных задач.

а) рис. 98

На данном графике производная $y=f'(x)$ пересекает ось абсцисс. Пусть точка пересечения имеет координату $x_0$. В этой точке выполняется условие $f'(x_0) = 0$. Так как график пересекает ось, то при переходе через точку $x_0$ знак производной $f'(x)$ меняется (с положительного на отрицательный или наоборот). Следовательно, по достаточному признаку существования экстремума, функция $y=f(x)$ имеет в этой точке экстремум (максимум или минимум).

Ответ: да, имеет.

б) рис. 99

На этом графике производная $y=f'(x)$ касается оси абсцисс в некоторой точке $x_0$. В этой точке $f'(x_0) = 0$. Однако, поскольку график только касается оси, но не пересекает её, знак производной $f'(x)$ при переходе через точку $x_0$ не меняется (например, $f'(x) \ge 0$ в окрестности $x_0$). Так как знак производной не меняется, точка $x_0$ не является точкой экстремума для функции $y=f(x)$.

Ответ: нет, не имеет.

в) рис. 100

График производной $y=f'(x)$ на этом рисунке не пересекает и не касается оси абсцисс. Это означает, что производная $f'(x)$ никогда не равна нулю. Знак производной постоянен на всей области определения (либо всегда $f'(x) > 0$, либо всегда $f'(x) < 0$). В этом случае функция $y=f(x)$ является монотонной (строго возрастает или строго убывает) и не имеет точек экстремума.

Ответ: нет, не имеет.

г) рис. 101

На данном графике производная $y=f'(x)$ пересекает ось абсцисс. В каждой точке пересечения с осью $Ox$ производная $f'(x)$ равна нулю и меняет свой знак. Каждая такая точка является точкой экстремума для функции $y=f(x)$. Следовательно, функция имеет точки экстремума.

Ответ: да, имеет.