Номер 44.43, страница 272, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.43. Постройте эскиз графика какой-нибудь функции, обладающей указанными свойствами:

а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$, точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной;

в) функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

г) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

а) функция имеет две точки максимума, одну точку минимума и является ограниченной;

Чтобы построить эскиз функции с заданными свойствами, необходимо выполнить следующие условия:

1. Ограниченность: Функция должна быть ограничена и сверху, и снизу. Это означает, что ее график должен полностью находиться между двумя горизонтальными прямыми, например, $y=M$ и $y=m$. Для нашего эскиза выберем, например, $y=4$ в качестве верхней границы и $y=-2$ в качестве нижней.
2. Две точки максимума и одна точка минимума: Наличие трех точек экстремума предполагает, что график будет иметь "волнистую" форму. Классический пример — это график, напоминающий перевернутую букву W или букву M.

Построим эскиз:

• Расположим точку минимума между двумя точками максимума. Например, пусть точка минимума будет $(0, -1)$.
• Точки максимума расположим симметрично или несимметрично относительно минимума. Например, пусть первая точка максимума будет $(-3, 2)$, а вторая — $(3, 3)$.
• Теперь соединим эти точки плавной кривой. Чтобы функция оставалась ограниченной, ее "ветви" на бесконечности не должны уходить в $\pm\infty$. Они могут, например, асимптотически приближаться к некоторой горизонтальной линии, скажем, $y=0$.

Таким образом, график может начинаться слева, приближаясь к оси $x$, затем возрастать до максимума в точке $(-3, 2)$, убывать до минимума в точке $(0, -1)$, снова возрастать до второго максимума в точке $(3, 3)$ и затем снова убывать, приближаясь к оси $x$ при $x \to \infty$.

Ответ: Эскиз представляет собой сглаженную М-образную кривую, целиком лежащую между двумя горизонтальными прямыми (например, $y=4$ и $y=-2$), что обеспечивает ее ограниченность. Кривая имеет два локальных максимума и один локальный минимум.

б) функция возрастает при $x \le 1$ и при $x \ge 5$ и убывает на промежутке $[1; 5]$, точка $x = 1$ является критической, а точка $x = 5$ — стационарной;

Проанализируем и построим эскиз функции по частям:

1. Интервалы монотонности:
   • При $x \le 1$ функция возрастает ($f'(x) > 0$).
   • На промежутке $[1, 5]$ функция убывает ($f'(x) < 0$).
   • При $x \ge 5$ функция возрастает ($f'(x) > 0$).
   Из этого следует, что в точке $x=1$ находится локальный максимум, а в точке $x=5$ — локальный минимум.
2. Характер точек экстремума:
   • Точка $x=1$ — критическая. Критическая точка — это точка, в которой производная равна нулю или не существует. Условие не уточняет, что она стационарная, поэтому мы можем изобразить в этой точке излом графика ("острый пик" или касп), где производная не существует.
   • Точка $x=5$ — стационарная. В стационарной точке производная равна нулю ($f'(5)=0$). Это означает, что касательная к графику в этой точке горизонтальна, и минимум должен быть "гладким", без изломов.

Эскиз будет выглядеть следующим образом: график функции идет вверх до точки $x=1$, где образует острый пик (например, в точке $(1, 4)$). Затем график убывает до точки $x=5$, где достигает гладкого минимума с горизонтальной касательной (например, в точке $(5, 0)$). После точки $x=5$ график снова начинает возрастать.

Ответ: Эскиз — это график, возрастающий до острого пика (критическая точка, где производная не существует) при $x=1$, затем убывающий до гладкой впадины с горизонтальной касательной (стационарная точка) при $x=5$, и снова возрастающий при $x>5$.

в) функция имеет разрыв в точке $x = -2$, максимум в точке $x = -1$ и минимум в точке $x = 1$;

Для построения эскиза учтем все заданные свойства:

1. Разрыв в точке $x=-2$: Разрыв может быть разных типов. Для наглядности изобразим разрыв второго рода, то есть вертикальную асимптоту $x=-2$. Пусть при приближении к $x=-2$ слева функция стремится к $+\infty$ ($\lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty$), а при приближении справа — к $-\infty$ ($\lim_{x \to -2^+} f(x) = -\infty$).
2. Максимум в точке $x=-1$: Справа от асимптоты $x=-2$ функция "выходит" из $-\infty$ и возрастает до точки локального максимума при $x=-1$. Пусть это будет точка с координатами $(-1, 3)$. После этой точки функция начинает убывать.
3. Минимум в точке $x=1$: Функция продолжает убывать после максимума в $x=-1$ до тех пор, пока не достигнет точки локального минимума при $x=1$. Пусть это будет точка $(1, -1)$. После этой точки функция снова начинает возрастать.

Поведение функции на бесконечности не задано, поэтому мы можем достроить график произвольно, соблюдая указанные свойства. Например, при $x > 1$ функция возрастает до бесконечности. При $x < -2$ функция убывает, стремясь к асимптоте $x=-2$ снизу (но в нашем примере мы выбрали стремление к $+\infty$).

Ответ: Эскиз — это график с вертикальной асимптотой $x=-2$. Справа от асимптоты кривая поднимается из $-\infty$ до локального максимума в точке $x=-1$ (например, $(-1, 3)$), затем опускается до локального минимума в точке $x=1$ (например, $(1, -1)$), а затем снова возрастает.

г) функция имеет горизонтальную асимптоту $y = 3$ при $x \to \infty$, одну точку максимума и одну точку минимума.

Построим эскиз, следуя заданным условиям:

1. Горизонтальная асимптота $y=3$ при $x \to \infty$: Это означает, что $\lim_{x \to \infty} f(x) = 3$. График функции при больших положительных значениях $x$ будет приближаться к горизонтальной прямой $y=3$.
2. Одна точка максимума и одна точка минимума: Наличие двух экстремумов говорит о том, что график имеет одну "вершину" и одну "впадину".

Совместим эти свойства. Существует два основных варианта расположения экстремумов относительно асимптоты. Рассмотрим интересный случай, когда график пересекает свою асимптоту.

• Пусть точка минимума находится ниже асимптоты, например, в точке $(2, 1)$.
• Пусть точка максимума находится выше асимптоты, например, в точке $(5, 4)$.
• Поведение функции при $x \to -\infty$ не определено, так что можно предположить, что функция приходит из $+\infty$.

Эскиз будет выглядеть так: график функции убывает из $+\infty$ (при $x \to -\infty$) до точки минимума $(2, 1)$. Затем функция возрастает, пересекает свою будущую асимптоту $y=3$ и достигает точки максимума $(5, 4)$. После максимума функция снова начинает убывать, опять пересекает прямую $y=3$ и далее асимптотически приближается к ней сверху при $x \to \infty$.

Ответ: Эскиз — это кривая, которая имеет локальный минимум (например, в точке $(2,1)$) и локальный максимум (например, в точке $(5,4)$). При $x \to \infty$ график функции асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=3$ (в данном примере — сверху, после прохождения максимума).