Номер 44.46, страница 273, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

044.46. По графику функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, изображённому на заданном рисунке, постройте эскиз графика её производной:

а) рис. 121;

б) рис. 122;

в) рис. 123;

г) рис. 124.

Рис. 121

Рис. 122

Рис. 123

Рис. 124

а) рис. 121;

Для построения эскиза графика производной $y = f'(x)$ воспользуемся геометрическим смыслом производной: значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. Также учтём связь между монотонностью функции и знаком производной.

1. На интервале $(-\infty, a)$ функция $f(x)$ возрастает. Это означает, что касательные к графику имеют положительный угловой коэффициент, следовательно, $f'(x) > 0$ на этом интервале.

2. В точке $x=a$ функция $f(x)$ имеет локальный максимум. Касательная к графику в этой точке горизонтальна, её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(a) = 0$.

3. На интервале $(a, +\infty)$ функция $f(x)$ убывает. Касательные имеют отрицательный угловой коэффициент, следовательно, $f'(x) < 0$ на этом интервале.

4. График функции $f(x)$ является параболой, ветви которой направлены вниз (функция выпукла вверх). Это означает, что угловой коэффициент касательной уменьшается с ростом $x$. Таким образом, функция $f'(x)$ является убывающей.

Из этих наблюдений следует, что график производной $f'(x)$ — это прямая линия с отрицательным угловым коэффициентом, которая пересекает ось абсцисс в точке $x=a$.

Ответ: Эскиз графика производной — это прямая, проходящая через точку $(a, 0)$ и имеющая отрицательный угловой коэффициент (то есть, убывающая прямая, которая положительна при $x < a$ и отрицательна при $x > a$).

б) рис. 122;

1. На интервале $(-\infty, 0)$ функция $f(x)$ убывает, следовательно, её производная $f'(x) < 0$.

2. В точке $x=0$ функция $f(x)$ имеет локальный минимум. Касательная в этой точке горизонтальна, поэтому $f'(0) = 0$.

3. На интервале $(0, +\infty)$ функция $f(x)$ возрастает, следовательно, её производная $f'(x) > 0$.

4. График функции $f(x)$ является параболой, ветви которой направлены вверх (функция выпукла вниз). Это означает, что угловой коэффициент касательной увеличивается с ростом $x$. Таким образом, функция $f'(x)$ является возрастающей.

Следовательно, график производной $f'(x)$ — это прямая линия с положительным угловым коэффициентом, проходящая через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Эскиз графика производной — это прямая, проходящая через начало координат и имеющая положительный угловой коэффициент (то есть, возрастающая прямая, которая отрицательна при $x < 0$ и положительна при $x > 0$).

в) рис. 123;

1. На интервале $(-\infty, b)$ функция $f(x)$ возрастает, значит $f'(x) > 0$.

2. В точке $x=b$ находится локальный максимум, значит $f'(b) = 0$.

3. На интервале $(b, c)$ функция $f(x)$ убывает, значит $f'(x) < 0$.

4. В точке $x=c$ находится локальный минимум, значит $f'(c) = 0$.

5. На интервале $(c, +\infty)$ функция $f(x)$ возрастает, значит $f'(x) > 0$.

6. Таким образом, график производной $f'(x)$ пересекает ось абсцисс в точках $x=b$ и $x=c$. Он положителен левее $b$ и правее $c$, и отрицателен между $b$ и $c$.

7. Функция $f(x)$ сначала выпукла вверх (до точки перегиба, расположенной между $b$ и $c$), а затем выпукла вниз. Это означает, что производная $f'(x)$ сначала убывает, а затем возрастает. Точка минимума для $f'(x)$ соответствует точке перегиба для $f(x)$.

Такое поведение характерно для параболы, ветви которой направлены вверх.

Ответ: Эскиз графика производной — это парабола, ветви которой направлены вверх, пересекающая ось абсцисс в точках $x=b$ и $x=c$.

г) рис. 124;

График функции $f(x)$ является кусочно-линейным. Производная на каждом линейном участке постоянна и равна угловому коэффициенту этого участка. В точках излома графика производная не существует.

1. На интервале $(-\infty, b)$: График — это прямая. Используя сетку, возьмём точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$, через которые проходит прямая. Угловой коэффициент (производная) равен $k_1 = \frac{2 - 0}{0 - (-2)} = \frac{2}{2} = 1$. Таким образом, $f'(x) = 1$ при $x < b$.

2. На интервале $(b, c)$: График — это горизонтальная прямая $y=const$. Её угловой коэффициент равен 0. Таким образом, $f'(x) = 0$ при $x \in (b, c)$.

3. На интервале $(c, +\infty)$: График — это прямая. Возьмём точки $(c, 3)$ (где $c=5$ по сетке) и $(6, 6)$. Угловой коэффициент равен $k_3 = \frac{6 - 3}{6 - 5} = \frac{3}{1} = 3$. Таким образом, $f'(x) = 3$ при $x > c$.

4. В точках $x=b$ и $x=c$ график $f(x)$ имеет изломы, поэтому в этих точках производная не существует.

График производной будет кусочно-постоянной (ступенчатой) функцией с разрывами в точках $b$ и $c$.

Ответ: Эскиз графика производной — это кусочно-постоянная функция: $f'(x) = 1$ для $x < b$; $f'(x) = 0$ для $x \in (b, c)$; $f'(x) = 3$ для $x > c$. В точках $x=b$ и $x=c$ производная не существует (на графике в этих точках будут разрывы).