Номер 44.53, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.53. a) $y = x - 2 \cos x, x \in [-\pi; \pi];$

б) $y = 2 \sin x - x, x \in [\pi; 3\pi].$

а)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = x - 2 \cos x$ на отрезке $[-\pi; \pi]$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции $y(x)$.

$y' = (x - 2 \cos x)' = 1 - 2(-\sin x) = 1 + 2 \sin x$.

2. Найти критические точки функции, решив уравнение $y' = 0$.

$1 + 2 \sin x = 0$

$2 \sin x = -1$

$\sin x = -\frac{1}{2}$

3. Определить, какие из найденных критических точек принадлежат заданному отрезку $[-\pi; \pi]$.

Корни уравнения $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеют вид $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Подберем значения $k$, чтобы найти корни в интервале $[-\pi; \pi]$:

• При $k=0$, $x = (-1)^{1} \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6}$. Эта точка принадлежит отрезку $[-\pi; \pi]$.
• При $k=-1$, $x = (-1)^{0} \frac{\pi}{6} - \pi = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$. Эта точка также принадлежит отрезку $[-\pi; \pi]$.

Другие целые значения $k$ дают корни, не входящие в данный отрезок.

4. Вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка: $x = -\pi$, $x = -\frac{5\pi}{6}$, $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \pi$.

• $y(-\pi) = -\pi - 2 \cos(-\pi) = -\pi - 2(-1) = 2 - \pi$.
• $y(\pi) = \pi - 2 \cos(\pi) = \pi - 2(-1) = \pi + 2$.
• $y(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6} - 2 \cos(-\frac{5\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6}$.
• $y(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - 2 \cos(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$.

5. Сравнить полученные значения, чтобы определить наибольшее и наименьшее.

Для сравнения можно использовать приблизительные значения: $\pi \approx 3.14$, $\sqrt{3} \approx 1.73$.

• $y(-\pi) = 2 - \pi \approx 2 - 3.14 = -1.14$.
• $y(\pi) = \pi + 2 \approx 3.14 + 2 = 5.14$.
• $y(-\frac{5\pi}{6}) = \sqrt{3} - \frac{5\pi}{6} \approx 1.73 - \frac{5 \cdot 3.14}{6} \approx 1.73 - 2.62 = -0.89$.
• $y(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\pi}{6} - \sqrt{3} \approx -\frac{3.14}{6} - 1.73 \approx -0.52 - 1.73 = -2.25$.

Сравнивая эти значения, видим, что наибольшее значение достигается в точке $x = \pi$ и равно $\pi + 2$, а наименьшее — в точке $x = -\frac{\pi}{6}$ и равно $-\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-\pi; \pi]$ равно $-\frac{\pi}{6} - \sqrt{3}$, наибольшее значение равно $\pi + 2$.

б)

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2 \sin x - x$ на отрезке $[\pi; 3\pi]$, проделаем аналогичные действия.

1. Находим производную функции:

$y' = (2 \sin x - x)' = 2 \cos x - 1$.

2. Находим критические точки из уравнения $y' = 0$:

$2 \cos x - 1 = 0$

$\cos x = \frac{1}{2}$

3. Определяем, какие из корней принадлежат отрезку $[\pi; 3\pi]$.

Общее решение уравнения $\cos x = \frac{1}{2}$ это $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Проверим значения для разных $k$:

• Для серии $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$, $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$. Так как $\pi = \frac{3\pi}{3}$ и $3\pi = \frac{9\pi}{3}$, то $\frac{3\pi}{3} \le \frac{7\pi}{3} \le \frac{9\pi}{3}$, значит, точка $x = \frac{7\pi}{3}$ принадлежит отрезку.
• Для серии $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$: при $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Эта точка также принадлежит отрезку $[\pi; 3\pi]$.

Другие целые значения $k$ дают корни за пределами отрезка.

4. Вычисляем значения функции в критических точках $x = \frac{5\pi}{3}$, $x = \frac{7\pi}{3}$ и на концах отрезка $x=\pi$, $x=3\pi$.

• $y(\pi) = 2 \sin(\pi) - \pi = 2 \cdot 0 - \pi = -\pi$.
• $y(3\pi) = 2 \sin(3\pi) - 3\pi = 2 \cdot 0 - 3\pi = -3\pi$.
• $y(\frac{5\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{5\pi}{3}) - \frac{5\pi}{3} = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3}$.
• $y(\frac{7\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{7\pi}{3}) - \frac{7\pi}{3} = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) - \frac{7\pi}{3} = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{7\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{7\pi}{3}$.

5. Сравним полученные значения.

Приблизительные значения: $\pi \approx 3.14$, $\sqrt{3} \approx 1.73$.

• $y(\pi) = -\pi \approx -3.14$.
• $y(3\pi) = -3\pi \approx -9.42$.
• $y(\frac{5\pi}{3}) = -\sqrt{3} - \frac{5\pi}{3} \approx -1.73 - \frac{5 \cdot 3.14}{3} \approx -1.73 - 5.23 = -6.96$.
• $y(\frac{7\pi}{3}) = \sqrt{3} - \frac{7\pi}{3} \approx 1.73 - \frac{7 \cdot 3.14}{3} \approx 1.73 - 7.33 = -5.6$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наибольшее значение функции равно $-\pi$, а наименьшее равно $-3\pi$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[\pi; 3\pi]$ равно $-3\pi$, наибольшее значение равно $-\pi$.