Номер 44.56, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.56. Докажите, что заданная функция не имеет ни точек максимума, ни точек минимума:

a) $y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x - 12$;

б) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 9$;

в) $y = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x - 7$;

г) $y = -x^3 - x^5 + 27$.

Для того чтобы доказать, что функция не имеет точек максимума и минимума (точек экстремума), нужно исследовать ее производную. Точки экстремума могут существовать только в тех точках, где производная равна нулю или не существует (критические точки). Если производная не меняет знак при переходе через критическую точку, или если критических точек нет вовсе, то функция не имеет экстремумов.

а) $y = \frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x - 12$

1. Найдем производную функции:

$y' = \left(\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + 4x - 12\right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} + 2 \cdot 2x^{2-1} + 4 = x^2 + 4x + 4$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^2 + 4x + 4 = 0$

Это уравнение можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$(x + 2)^2 = 0$

Уравнение имеет единственный корень $x = -2$.

3. Исследуем знак производной $y' = (x + 2)^2$ в окрестности точки $x = -2$.

Так как выражение $(x + 2)^2$ является квадратом, оно всегда неотрицательно, то есть $y' \ge 0$ при любом $x$. При $x \neq -2$ производная строго положительна ($y' > 0$), а при $x = -2$ она равна нулю. Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x = -2$ (остается неотрицательной), эта точка не является точкой экстремума. Функция является возрастающей на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная функции $y' = (x+2)^2 \ge 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль только в одной точке, не меняя знака, то функция не имеет точек максимума и минимума.

б) $y = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 9$

1. Найдем производную функции:

$y' = \left(-\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + 9\right)' = -\frac{1}{3} \cdot 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x - 3 = -x^2 + 3x - 3$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-x^2 + 3x - 3 = 0$

Умножим обе части на -1:

$x^2 - 3x + 3 = 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

3. Так как дискриминант $D < 0$, уравнение $y' = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что у функции нет критических точек.

Поскольку производная $y' = -x^2 + 3x - 3$ является квадратичной функцией, ветви параболы которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен), и она не пересекает ось абсцисс, то ее значения всегда отрицательны ($y' < 0$ для всех $x$). Следовательно, функция монотонно убывает на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная функции $y'$ всегда отрицательна и никогда не обращается в ноль, функция не имеет точек максимума и минимума.

в) $y = \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x - 7$

1. Найдем производную функции:

$y' = \left(\frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x - 7\right)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 + \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 1 = x^4 + x^2 + 1$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^4 + x^2 + 1 = 0$

Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$t^2 + t + 1 = 0$

Дискриминант этого уравнения $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$. Так как $D < 0$, уравнение для $t$ не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение $y' = 0$ не имеет действительных корней.

3. Проанализируем знак производной $y' = x^4 + x^2 + 1$.

Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых $x$, то $x^4 + x^2 \ge 0$. Тогда $y' = x^4 + x^2 + 1 \ge 1$. Это означает, что производная всегда строго положительна. Следовательно, функция монотонно возрастает на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная функции $y'$ всегда положительна и никогда не обращается в ноль, функция не имеет точек максимума и минимума.

г) $y = -x^3 - x^5 + 27$

1. Найдем производную функции:

$y' = (-x^3 - x^5 + 27)' = -3x^2 - 5x^4$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$-3x^2 - 5x^4 = 0$

Вынесем за скобки общий множитель $-x^2$:

$-x^2(3 + 5x^2) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$-x^2 = 0 \implies x = 0$.
$3 + 5x^2 = 0 \implies 5x^2 = -3$, это уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2$ не может быть отрицательным.

Таким образом, существует единственная критическая точка $x = 0$.

3. Исследуем знак производной $y' = -x^2(3 + 5x^2)$ в окрестности точки $x = 0$.

Выражение $x^2 \ge 0$ для всех $x$. Выражение $3 + 5x^2$ всегда положительно (так как $5x^2 \ge 0 \implies 3+5x^2 \ge 3$).
Следовательно, $y' = -x^2(3 + 5x^2) \le 0$ для всех $x$. Производная равна нулю только при $x = 0$, а при $x \neq 0$ она строго отрицательна. Поскольку производная не меняет знак при переходе через точку $x = 0$ (остается неположительной), эта точка не является точкой экстремума. Функция является убывающей на всей числовой оси.

Ответ: Так как производная функции $y' = -3x^2 - 5x^4 \le 0$ на всей числовой прямой и обращается в ноль только в одной точке, не меняя знака, то функция не имеет точек максимума и минимума.