Номер 44.62, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.62. a) $y = |x^3 - 3x|;$

б) $y = |x - x^3|.$

Для решения задачи проведем полное исследование функции $y = |x^3 - 3x|$.

Чтобы построить график функции вида $y = |f(x)|$, необходимо сначала исследовать и построить график функции $f(x) = x^3 - 3x$, а затем ту часть графика, которая находится ниже оси абсцисс (где $f(x) < 0$), симметрично отразить относительно этой оси.

1. Исследование функции $f(x) = x^3 - 3x$:

Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Четность/нечетность: Проверим функцию на четность: $f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -(x^3 - 3x) = -f(x)$. Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечетной, ее график симметричен относительно начала координат.

Нули функции (точки пересечения с осью Ox): Решим уравнение $f(x) = 0$:
$x^3 - 3x = 0$
$x(x^2 - 3) = 0$
$x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0$
Корни уравнения и точки пересечения с осью Ox: $x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \sqrt{3}$.

Интервалы знакопостоянства: Определим знаки функции на интервалах, на которые ее разбивают нули:
- $f(x) > 0$ при $x \in (-\sqrt{3}, 0) \cup (\sqrt{3}, +\infty)$.
- $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$.

Экстремумы и промежутки монотонности:
Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$.
Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0 \implies x = -1$ и $x = 1$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
- При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
- При $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
Точка $x = -1$ является точкой локального максимума. Значение функции в этой точке: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$. Координаты максимума: $(-1, 2)$.
Точка $x = 1$ является точкой локального минимума. Значение функции в этой точке: $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$. Координаты минимума: $(1, -2)$.

2. Построение и свойства графика $y = |x^3 - 3x|$:

График $y = |x^3 - 3x|$ совпадает с графиком $y = x^3 - 3x$ на промежутках, где $x^3 - 3x \ge 0$, то есть при $x \in [-\sqrt{3}, 0] \cup [\sqrt{3}, +\infty)$.
На промежутках, где $x^3 - 3x < 0$, то есть при $x \in (-\infty, -\sqrt{3}) \cup (0, \sqrt{3})$, график $y = |x^3 - 3x|$ является симметричным отражением графика $y = x^3 - 3x$ относительно оси Ox. Это соответствует графику функции $y = -(x^3 - 3x) = 3x - x^3$.
В результате этого преобразования локальный минимум в точке $(1, -2)$ становится локальным максимумом в точке $(1, 2)$.

Итоговые свойства функции $y = |x^3 - 3x|$:
- Функция четная, так как $y(-x) = |(-x)^3 - 3(-x)| = |-x^3 + 3x| = |-(x^3-3x)| = |x^3-3x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Область значений: $E(y) = [0, +\infty)$.
- Точки локального минимума (в которых производная не существует): $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$.
- Точки локального максимума: $(-1, 2)$ и $(1, 2)$.
- Функция возрастает на промежутках $[-\sqrt{3}, -1]$, $[0, 1]$ и $[\sqrt{3}, +\infty)$.
- Функция убывает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{3}]$, $[-1, 0]$ и $[1, \sqrt{3}]$.

Ответ: Решение задачи заключается в полном исследовании функции $f(x) = x^3 - 3x$ (нахождение нулей, экстремумов, интервалов монотонности) и последующем построении графика функции $y = |f(x)|$ путем симметричного отражения отрицательной части графика $f(x)$ относительно оси Ox. В результате получена четная функция $y = |x^3 - 3x|$ с локальными минимумами в точках $(-\sqrt{3}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{3}, 0)$ и локальными максимумами в точках $(-1, 2)$ и $(1, 2)$.

Для решения задачи проведем полное исследование функции $y = |x - x^3|$.

Заметим, что $|x - x^3| = |-(x^3 - x)| = |x^3 - x|$. Таким образом, задача сводится к исследованию функции $y = |x^3 - x|$. Мы применим тот же метод, что и в пункте а): сначала исследуем функцию $g(x) = x^3 - x$.

1. Исследование функции $g(x) = x^3 - x$:

Область определения: $D(g) = (-\infty; +\infty)$.

Четность/нечетность: $g(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -g(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат.

Нули функции (пересечение с осью Ox): Решим уравнение $g(x) = 0$:
$x^3 - x = 0$
$x(x^2 - 1) = 0$
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Точки пересечения с осью Ox: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

Интервалы знакопостоянства:
- $g(x) > 0$ при $x \in (-1, 0) \cup (1, +\infty)$.
- $g(x) < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1)$.

Экстремумы и промежутки монотонности:
Находим производную: $g'(x) = (x^3 - x)' = 3x^2 - 1$.
Находим критические точки: $g'(x) = 0 \implies 3x^2 = 1 \implies x^2 = 1/3 \implies x = \pm 1/\sqrt{3}$.
Определим знаки производной на интервалах:
- При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{3})$, $g'(x) > 0$, функция возрастает.
- При $x \in (-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $g'(x) < 0$, функция убывает.
- При $x \in (1/\sqrt{3}, +\infty)$, $g'(x) > 0$, функция возрастает.
Точка $x = -1/\sqrt{3}$ является точкой локального максимума. $g(-1/\sqrt{3}) = (-1/\sqrt{3})^3 - (-1/\sqrt{3}) = -1/(3\sqrt{3}) + 1/\sqrt{3} = 2/(3\sqrt{3})$. Координаты максимума: $(-1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$.
Точка $x = 1/\sqrt{3}$ является точкой локального минимума. $g(1/\sqrt{3}) = (1/\sqrt{3})^3 - (1/\sqrt{3}) = 1/(3\sqrt{3}) - 1/\sqrt{3} = -2/(3\sqrt{3})$. Координаты минимума: $(1/\sqrt{3}, -2/(3\sqrt{3}))$.

2. Построение и свойства графика $y = |x - x^3|$:

График $y = |x^3 - x|$ получается путем отражения отрицательной части графика $y = x^3 - x$ относительно оси Ox. Функция $g(x)$ принимает отрицательные значения на интервалах $(-\infty, -1) \cup (0, 1)$.
В результате этого преобразования локальный минимум в точке $(1/\sqrt{3}, -2/(3\sqrt{3}))$ становится локальным максимумом в точке $(1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$.

Итоговые свойства функции $y = |x - x^3|$:
- Функция четная, так как $y(-x) = |(-x) - (-x)^3| = |-x + x^3| = |x - x^3| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
- Область значений: $E(y) = [0, +\infty)$.
- Точки локального минимума: $(-1, 0)$, $(0, 0)$, $(1, 0)$.
- Точки локального максимума: $(-1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$ и $(1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$.
- Функция возрастает на промежутках $[-1, -1/\sqrt{3}]$, $[0, 1/\sqrt{3}]$ и $[1, +\infty)$.
- Функция убывает на промежутках $(-\infty, -1]$, $[-1/\sqrt{3}, 0]$ и $[1/\sqrt{3}, 1]$.

Ответ: Решение задачи основано на исследовании вспомогательной нечетной функции $g(x) = x^3 - x$. После нахождения ее нулей, экстремумов и интервалов знакопостоянства, свойства и график функции $y = |x - x^3|$ были определены путем отражения частей графика $g(x)$, лежащих под осью абсцисс. Итоговая функция $y = |x - x^3|$ является четной, имеет локальные минимумы в точках $(-1, 0)$, $(0, 0)$, $(1, 0)$ и локальные максимумы в точках $(-1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$ и $(1/\sqrt{3}, 2/(3\sqrt{3}))$.