Номер 44.63, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы и постройте её график:

44.63. a) $y = 3x^2 - 4x + 5;$

б) $y = 3 + 2x - x^2;$

в) $y = 7 - x - 2x^2;$

г) $y = 5x^2 - 15x - 4.$

а) $y = 3x^2 - 4x + 5$

Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 3 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
1. Исследование на монотонность и экстремумы.
Найдем производную функции:
$y' = (3x^2 - 4x + 5)' = 6x - 4$.
Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$6x - 4 = 0 \implies 6x = 4 \implies x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
Это точка экстремума (вершина параболы). Так как ветви параболы направлены вверх, это точка минимума.
При $x < \frac{2}{3}$, производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$.
При $x > \frac{2}{3}$, производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$.
$x_{min} = \frac{2}{3}$.
Найдем значение функции в точке минимума:
$y_{min} = 3(\frac{2}{3})^2 - 4(\frac{2}{3}) + 5 = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{8}{3} + 5 = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} + \frac{15}{3} = \frac{11}{3}$.
Точка минимума (вершина параболы): $(\frac{2}{3}; \frac{11}{3})$.
2. Построение графика.
- Вершина параболы: $(\frac{2}{3}; \frac{11}{3}) \approx (0.67; 3.67)$.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=5$. Точка $(0; 5)$.
- Точек пересечения с осью OX нет, так как дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44 < 0$.
График — парабола с вершиной в точке $(\frac{2}{3}; \frac{11}{3})$, ветвями вверх, проходящая через точку $(0; 5)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{2}{3}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{2}{3}; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = \frac{2}{3}$, $y_{min} = \frac{11}{3}$.

б) $y = 3 + 2x - x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $y = -x^2 + 2x + 3$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1 (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.
1. Исследование на монотонность и экстремумы.
Найдем производную функции:
$y' = (-x^2 + 2x + 3)' = -2x + 2$.
Приравняем производную к нулю:
$-2x + 2 = 0 \implies -2x = -2 \implies x = 1$.
Это точка экстремума. Так как ветви параболы направлены вниз, это точка максимума.
При $x < 1$, производная $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$.
При $x > 1$, производная $y' < 0$, следовательно, функция убывает на промежутке $[1; +\infty)$.
$x_{max} = 1$.
Найдем значение функции в точке максимума:
$y_{max} = -1^2 + 2(1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$.
Точка максимума (вершина параболы): $(1; 4)$.
2. Построение графика.
- Вершина параболы: $(1; 4)$.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=3$. Точка $(0; 3)$.
- Точки пересечения с осью OX: решим уравнение $-x^2 + 2x + 3 = 0$ или $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. Точки $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.
График — парабола с вершиной в точке $(1; 4)$, ветвями вниз, пересекающая оси в точках $(-1; 0)$, $(3; 0)$ и $(0; 3)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$ и убывает на промежутке $[1; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = 1$, $y_{max} = 4$.

в) $y = 7 - x - 2x^2$

Перепишем функцию: $y = -2x^2 - x + 7$. Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательный), ветви направлены вниз.
1. Исследование на монотонность и экстремумы.
Найдем производную:
$y' = (-2x^2 - x + 7)' = -4x - 1$.
Приравняем производную к нулю:
$-4x - 1 = 0 \implies -4x = 1 \implies x = -\frac{1}{4}$.
Это точка экстремума (максимума, так как ветви параболы направлены вниз).
При $x < -\frac{1}{4}$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty; -\frac{1}{4}]$.
При $x > -\frac{1}{4}$, $y' < 0$, функция убывает на $[-\frac{1}{4}; +\infty)$.
$x_{max} = -\frac{1}{4}$.
Найдем значение функции в точке максимума:
$y_{max} = -2(-\frac{1}{4})^2 - (-\frac{1}{4}) + 7 = -2(\frac{1}{16}) + \frac{1}{4} + 7 = -\frac{1}{8} + \frac{2}{8} + \frac{56}{8} = \frac{57}{8}$.
Точка максимума (вершина параболы): $(-\frac{1}{4}; \frac{57}{8})$.
2. Построение графика.
- Вершина параболы: $(-\frac{1}{4}; \frac{57}{8}) = (-0.25; 7.125)$.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=7$. Точка $(0; 7)$.
- Точки пересечения с осью OX: решим $-2x^2 - x + 7 = 0$. $D = (-1)^2 - 4(-2)(7) = 1 + 56 = 57$. $x = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{-4} = \frac{-1 \mp \sqrt{57}}{4}$. Точки $(\frac{-1 - \sqrt{57}}{4}; 0)$ и $(\frac{-1 + \sqrt{57}}{4}; 0)$.
График — парабола с вершиной в точке $(-0.25; 7.125)$, ветвями вниз, проходящая через точку $(0; 7)$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; -\frac{1}{4}]$ и убывает на промежутке $[-\frac{1}{4}; +\infty)$. Точка максимума $x_{max} = -\frac{1}{4}$, $y_{max} = \frac{57}{8}$.

г) $y = 5x^2 - 15x - 4$

Это квадратичная функция, график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительный), ветви направлены вверх.
1. Исследование на монотонность и экстремумы.
Найдем производную:
$y' = (5x^2 - 15x - 4)' = 10x - 15$.
Приравняем производную к нулю:
$10x - 15 = 0 \implies 10x = 15 \implies x = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.
Это точка экстремума (минимума, так как ветви параболы направлены вверх).
При $x < \frac{3}{2}$, $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty; \frac{3}{2}]$.
При $x > \frac{3}{2}$, $y' > 0$, функция возрастает на $[\frac{3}{2}; +\infty)$.
$x_{min} = \frac{3}{2}$.
Найдем значение функции в точке минимума:
$y_{min} = 5(\frac{3}{2})^2 - 15(\frac{3}{2}) - 4 = 5(\frac{9}{4}) - \frac{45}{2} - 4 = \frac{45}{4} - \frac{90}{4} - \frac{16}{4} = -\frac{61}{4}$.
Точка минимума (вершина параболы): $(\frac{3}{2}; -\frac{61}{4})$.
2. Построение графика.
- Вершина параболы: $(\frac{3}{2}; -\frac{61}{4}) = (1.5; -15.25)$.
- Точка пересечения с осью OY: при $x=0$, $y=-4$. Точка $(0; -4)$.
- Точки пересечения с осью OX: решим $5x^2 - 15x - 4 = 0$. $D = (-15)^2 - 4(5)(-4) = 225 + 80 = 305$. $x = \frac{15 \pm \sqrt{305}}{10}$. Точки $(\frac{15 - \sqrt{305}}{10}; 0)$ и $(\frac{15 + \sqrt{305}}{10}; 0)$.
График — парабола с вершиной в точке $(1.5; -15.25)$, ветвями вверх, проходящая через точку $(0; -4)$.
Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; \frac{3}{2}]$ и возрастает на промежутке $[\frac{3}{2}; +\infty)$. Точка минимума $x_{min} = \frac{3}{2}$, $y_{min} = -\frac{61}{4}$.