Номер 44.61, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.61. a) $y = |x - 3| - 2$;

б) $y = |\frac{1}{x} - 1|$;

В) $y = |(x - 2)(x + 3)|$;

Г) $y = (|x| - 2)|x|$.

а) $y = |x - 3| - 2$

Для построения графика этой функции воспользуемся методом преобразования графиков. За основу возьмем график функции $y = |x|$.

1. Строим график базовой функции $y = |x|$. Это "уголок", вершина которого находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх и являются биссектрисами первого и второго координатных углов.

2. Выполняем сдвиг графика $y = |x|$ на 3 единицы вправо по оси Ox. Получаем график функции $y = |x - 3|$. Вершина "уголка" перемещается в точку $(3, 0)$.

3. Выполняем сдвиг графика $y = |x - 3|$ на 2 единицы вниз по оси Oy. Получаем искомый график функции $y = |x - 3| - 2$. Вершина "уголка" перемещается в точку $(3, -2)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью Oy (x=0): $y = |0 - 3| - 2 = 3 - 2 = 1$. Точка пересечения: $(0, 1)$.

• С осью Ox (y=0): $|x - 3| - 2 = 0 \Rightarrow |x - 3| = 2$. Это уравнение распадается на два:
  $x - 3 = 2 \Rightarrow x = 5$.
  $x - 3 = -2 \Rightarrow x = 1$.
  Точки пересечения: $(1, 0)$ и $(5, 0)$.

Ответ: График функции представляет собой "уголок" (две прямые, сходящиеся в одной точке), вершина которого находится в точке $(3, -2)$, а ветви направлены вверх. График пересекает ось абсцисс в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$ и ось ординат в точке $(0, 1)$.

б) $y = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$

Построение также выполним с помощью преобразований, начав с графика функции $y = \frac{1}{x}$.

1. Строим график базовой функции $y = \frac{1}{x}$. Это гипербола с ветвями в первом и третьем координатных квадрантах. Асимптоты: $x = 0$ (ось Oy) и $y = 0$ (ось Ox).

2. Сдвигаем график $y = \frac{1}{x}$ на 1 единицу вниз по оси Oy. Получаем график функции $y = \frac{1}{x} - 1$. Вертикальная асимптота остается $x=0$, а горизонтальная смещается на $y = -1$. График пересекает ось Ox в точке, где $y=0$, то есть $\frac{1}{x} - 1 = 0 \Rightarrow x=1$. Точка пересечения: $(1, 0)$.

3. Применяем операцию взятия модуля: $y = \left|\frac{1}{x} - 1\right|$. Это означает, что часть графика $y = \frac{1}{x} - 1$, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox вверх. Часть графика, которая находится выше или на оси Ox, остается без изменений.

   • Часть графика, где $0 < x \le 1$, остается на месте.

   • Части графика, где $x > 1$ и $x < 0$, были ниже оси Ox, поэтому они отразятся вверх.

   • Горизонтальная асимптота $y = -1$ для отражаемых частей графика превращается в асимптоту $y = 1$.

   • В точке $(1, 0)$ образуется "излом" (острый угол).

Ответ: График функции имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=1$. Он состоит из двух ветвей. Одна ветвь находится во втором квадранте и приближается к асимптотам. Другая ветвь находится в первом квадранте, касается оси Ox в точке $(1, 0)$ (образуя "излом") и уходит вверх вдоль оси Oy.

в) $y = |(x - 2)(x + 3)|$

Для построения этого графика сначала построим параболу $y = (x - 2)(x + 3)$, а затем применим операцию модуля.

1. Рассмотрим функцию $f(x) = (x - 2)(x + 3) = x^2 + x - 6$. Это квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх.

2. Найдем точки пересечения с осью Ox (нули функции): $(x - 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -3$.

3. Найдем вершину параболы. Координата x вершины: $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{2 + (-3)}{2} = -0.5$. Координата y вершины: $y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) - 6 = 0.25 - 0.5 - 6 = -6.25$. Вершина находится в точке $(-0.5, -6.25)$.

4. Применяем операцию модуля: $y = |x^2 + x - 6|$. Часть параболы, расположенная ниже оси Ox (между корнями $x=-3$ и $x=2$), симметрично отражается относительно оси Ox. Части параболы, расположенные выше оси, остаются без изменений.

   • Вершина $(-0.5, -6.25)$ отражается в точку $(-0.5, 6.25)$, которая становится точкой локального максимума.

   • В точках пересечения с осью Ox $(-3, 0)$ и $(2, 0)$ образуются "изломы".

Ответ: График получается из параболы $y = x^2 + x - 6$ путем отражения ее части, лежащей ниже оси абсцисс, в верхнюю полуплоскость. График касается оси Ox в точках $(-3, 0)$ и $(2, 0)$, образуя в них изломы. Локальный максимум находится в точке $(-0.5, 6.25)$.

г) $y = (|x| - 2)|x|$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = (|-x| - 2)|-x| = (|x| - 2)|x| = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

1. Рассмотрим случай $x \ge 0$. Тогда $|x| = x$, и функция принимает вид $y = (x - 2)x = x^2 - 2x$.

2. График функции $y = x^2 - 2x$ — это парабола с ветвями вверх.
   Нули функции: $x(x - 2) = 0 \Rightarrow x_1 = 0, x_2 = 2$.
   Вершина параболы: $x_v = \frac{0+2}{2} = 1$; $y_v = 1^2 - 2(1) = -1$. Вершина в точке $(1, -1)$.

3. Строим эту параболу для $x \ge 0$. Это часть параболы, начинающаяся в точке $(0, 0)$, проходящая через вершину $(1, -1)$ и пересекающая ось Ox в точке $(2, 0)$.

4. Отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy.
   Точка $(0, 0)$ остается на месте.
   Точка $(2, 0)$ отражается в точку $(-2, 0)$.
   Вершина $(1, -1)$ отражается в точку $(-1, -1)$.
   Получается вторая половина графика для $x < 0$.

Итоговый график напоминает букву "W".

Ответ: График функции симметричен относительно оси ординат. Он имеет форму буквы "W". Точки пересечения с осью абсцисс: $(-2, 0)$, $(0, 0)$, $(2, 0)$. Точки локальных минимумов (нижние вершины) находятся в точках $(-1, -1)$ и $(1, -1)$.