Номер 44.64, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.64. а) $y = 3x^2 - x^3;$

б) $y = 6x + x^3;$

В) $y = x^3 + 3x^2;$

Г) $y = 3x - x^3.$

а) $y = 3x^2 - x^3$

Находим производную функции: $y' = (3x^2 - x^3)' = 6x - 3x^2$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: $6x - 3x^2 = 0$, или $3x(2 - x) = 0$. Критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$.

Определяем знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят числовую ось. Производная $y' = -3x^2 + 6x$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Следовательно, $y' > 0$ на интервале $(0, 2)$ и $y' < 0$ на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[0, 2]$ и убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$.

В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 3(0)^2 - 0^3 = 0$.

В точке $x=2$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(2) = 3(2)^2 - 2^3 = 12 - 8 = 4$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2]$; убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$; точка минимума $(0, 0)$; точка максимума $(2, 4)$.

б) $y = 6x + x^3$

Находим производную функции: $y' = (6x + x^3)' = 6 + 3x^2$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: $6 + 3x^2 = 0$.

Уравнение $3x^2 = -6$, или $x^2 = -2$, не имеет действительных корней. Следовательно, у функции нет критических точек.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то производная $y' = 6 + 3x^2$ всегда положительна ($y' \ge 6$).

Это означает, что функция возрастает на всей своей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция возрастает на всей числовой оси $(-\infty, +\infty)$; экстремумов нет.

в) $y = x^3 + 3x^2$

Находим производную функции: $y' = (x^3 + 3x^2)' = 3x^2 + 6x$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: $3x^2 + 6x = 0$, или $3x(x + 2) = 0$. Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$.

Определяем знаки производной на интервалах. Производная $y' = 3x^2 + 6x$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх.

Следовательно, $y' > 0$ на интервалах $(-\infty, -2)$ и $(0, +\infty)$, и $y' < 0$ на интервале $(-2, 0)$.

Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $[-2, 0]$.

В точке $x=-2$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 = -8 + 12 = 4$.

В точке $x=0$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(0) = 0^3 + 3(0)^2 = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$; убывает на промежутке $[-2, 0]$; точка максимума $(-2, 4)$; точка минимума $(0, 0)$.

г) $y = 3x - x^3$

Находим производную функции: $y' = (3x - x^3)' = 3 - 3x^2$.

Приравниваем производную к нулю для нахождения критических точек: $3 - 3x^2 = 0$, или $3(1 - x^2) = 0$. Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.

Определяем знаки производной на интервалах. Производная $y' = -3x^2 + 3$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз.

Следовательно, $y' > 0$ на интервале $(-1, 1)$ и $y' < 0$ на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$.

Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$ и убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$.

В точке $x=-1$ убывание сменяется возрастанием, следовательно, это точка минимума. $y_{min} = y(-1) = 3(-1) - (-1)^3 = -3 + 1 = -2$.

В точке $x=1$ возрастание сменяется убыванием, следовательно, это точка максимума. $y_{max} = y(1) = 3(1) - 1^3 = 3 - 1 = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 1]$; убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[1, +\infty)$; точка минимума $(-1, -2)$; точка максимума $(1, 2)$.