Номер 44.71, страница 277, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.71. a) $3 \cos \pi x + 5 \sin \frac{\pi x}{2} + 18x = 43 - x^5 - 22x^3;$

б) $2 \sin \frac{\pi}{2}x - 2 \cos \pi x - 10x = x^5 - 54.$

а)

Дано уравнение $3 \cos(\pi x) + 5 \sin(\frac{\pi x}{2}) + 18x = 43 - x^5 - 22x^3$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $f(x)=0$:

$x^5 + 22x^3 + 18x + 3 \cos(\pi x) + 5 \sin(\frac{\pi x}{2}) - 43 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 22x^3 + 18x + 3 \cos(\pi x) + 5 \sin(\frac{\pi x}{2}) - 43$.

Для того чтобы определить количество корней уравнения, исследуем эту функцию на монотонность. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^5 + 22x^3 + 18x + 3 \cos(\pi x) + 5 \sin(\frac{\pi x}{2}) - 43)'$

$f'(x) = 5x^4 + 66x^2 + 18 - 3\pi \sin(\pi x) + \frac{5\pi}{2} \cos(\frac{\pi x}{2})$

Оценим значение производной. Полиномиальная часть $5x^4 + 66x^2 + 18$ всегда положительна, так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$. Ее минимальное значение достигается при $x=0$ и равно $18$.

Тригонометрическая часть $- 3\pi \sin(\pi x) + \frac{5\pi}{2} \cos(\frac{\pi x}{2})$ является ограниченной функцией. Максимальное значение модуля этой части можно оценить с помощью неравенства треугольника: $|- 3\pi \sin(\pi x) + \frac{5\pi}{2} \cos(\frac{\pi x}{2})| \le |- 3\pi \sin(\pi x)| + |\frac{5\pi}{2} \cos(\frac{\pi x}{2})| \le 3\pi + \frac{5\pi}{2} = \frac{11\pi}{2}$.

Используя $\pi \approx 3.14$, получаем $\frac{11\pi}{2} \approx \frac{11 \times 3.14}{2} \approx 17.27$. Эта оценка не позволяет сделать однозначный вывод о знаке производной.

Используем более точную оценку для амплитуды выражения $A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$, которая равна $\sqrt{A^2+B^2}$. Для нашей тригонометрической части функции это не применимо напрямую из-за разных аргументов. Однако, мы можем оценить ее диапазон: $-3\pi \le -3\pi \sin(\pi x) \le 3\pi$ и $-\frac{5\pi}{2} \le \frac{5\pi}{2} \cos(\frac{\pi x}{2}) \le \frac{5\pi}{2}$. Тогда $-3\pi - \frac{5\pi}{2} \le - 3\pi \sin(\pi x) + \frac{5\pi}{2} \cos(\frac{\pi x}{2}) \le 3\pi + \frac{5\pi}{2}$. Значит, тригонометрическая часть находится в пределах $[-\frac{11\pi}{2}, \frac{11\pi}{2}]$. Поскольку $18 > \frac{11\pi}{2}$ неверно, воспользуемся другой группировкой.

Запишем производную как $f'(x) = (5x^4 + 66x^2) + (18 - 3\pi \sin(\pi x) + \frac{5\pi}{2} \cos(\frac{\pi x}{2}))$. Минимальное значение $5x^4 + 66x^2$ равно 0 при $x=0$. Рассмотрим значение производной при $x=0$: $f'(0) = 18 + \frac{5\pi}{2} > 0$. При $x \ne 0$, $5x^4 + 66x^2$ быстро растет. Например, при $|x|=1$, $5x^4 + 66x^2 = 71$. Сумма $18 - 3\pi \sin(\pi x) + \frac{5\pi}{2} \cos(\frac{\pi x}{2})$ всегда будет больше, чем $18 - 3\pi - \frac{5\pi}{2} = 18 - \frac{11\pi}{2} \approx 18 - 17.27 = 0.73 > 0$. Таким образом, $f'(x) = (5x^4 + 66x^2 + 18) - (3\pi \sin(\pi x) - \frac{5\pi}{2} \cos(\frac{\pi x}{2})) \ge 18 - \sqrt{(3\pi)^2 + (\frac{5\pi}{2})^2} = 18 - \frac{\pi\sqrt{61}}{2} \approx 18 - 12.25 = 5.75 > 0$.

Поскольку производная $f'(x)$ всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что уравнение $f(x) = 0$ может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.

Пусть $x=1$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$3 \cos(\pi \cdot 1) + 5 \sin(\frac{\pi \cdot 1}{2}) + 18 \cdot 1 = 43 - 1^5 - 22 \cdot 1^3$

$3(-1) + 5(1) + 18 = 43 - 1 - 22$

$-3 + 5 + 18 = 20$

$20 = 20$

Равенство верное, следовательно, $x=1$ является корнем уравнения.

Так как этот корень единственный, он и является решением.

Ответ: 1.

б)

Дано уравнение $2 \sin(\frac{\pi x}{2}) - 2 \cos(\pi x) - 10x = x^5 - 54$.

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение вида $H(x)=0$:

$2 \sin(\frac{\pi x}{2}) - 2 \cos(\pi x) - 10x - x^5 + 54 = 0$

Рассмотрим функцию $H(x) = 2 \sin(\frac{\pi x}{2}) - 2 \cos(\pi x) - x^5 - 10x + 54$.

Исследуем функцию на монотонность, для чего найдем ее производную:

$H'(x) = (2 \sin(\frac{\pi x}{2}) - 2 \cos(\pi x) - x^5 - 10x + 54)'$

$H'(x) = 2 \cos(\frac{\pi x}{2}) \cdot \frac{\pi}{2} - (-2 \sin(\pi x)) \cdot \pi - 5x^4 - 10$

$H'(x) = \pi \cos(\frac{\pi x}{2}) + 2\pi \sin(\pi x) - 5x^4 - 10$

Оценим значение производной. Вынесем минус за скобки:

$H'(x) = -(5x^4 + 10 - \pi \cos(\frac{\pi x}{2}) - 2\pi \sin(\pi x))$

Рассмотрим выражение в скобках. Полиномиальная часть $5x^4 + 10$ всегда не меньше 10, так как $x^4 \ge 0$.

Тригонометрическая часть $- \pi \cos(\frac{\pi x}{2}) - 2\pi \sin(\pi x)$ ограничена. Ее максимальное значение не превышает $\sqrt{(-\pi)^2 + (-2\pi)^2} = \sqrt{\pi^2 + 4\pi^2} = \sqrt{5\pi^2} = \pi\sqrt{5}$.

Используя $\pi \approx 3.14$ и $\sqrt{5} \approx 2.24$, получаем $\pi\sqrt{5} \approx 3.14 \times 2.24 \approx 7.03$.

Тогда минимальное значение выражения в скобках равно $5(0)^4 + 10 - \pi\sqrt{5} \approx 10 - 7.03 = 2.97 > 0$.

Поскольку выражение в скобках всегда положительно, а перед скобками стоит знак минус, производная $H'(x)$ всегда отрицательна.

Так как $H'(x) < 0$ для всех $x$, функция $H(x)$ является строго убывающей на всей числовой оси. Следовательно, уравнение $H(x) = 0$ может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень методом подбора. Проверим целые значения $x$.

Пусть $x=2$. Подставим это значение в исходное уравнение:

$2 \sin(\frac{\pi \cdot 2}{2}) - 2 \cos(\pi \cdot 2) - 10 \cdot 2 = 2^5 - 54$

$2 \sin(\pi) - 2 \cos(2\pi) - 20 = 32 - 54$

$2(0) - 2(1) - 20 = -22$

$-2 - 20 = -22$

$-22 = -22$

Равенство верное, значит $x=2$ является корнем уравнения.

Поскольку этот корень единственный, он и является решением.

Ответ: 2.