Номер 45.1, страница 277, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.1. Исследуйте функцию и постройте её график:

а) $y = \frac{1}{x^2 + 1}$;

б) $y = \frac{-2}{x^2 + 4}$.

Исследуем функцию $y = \frac{1}{x^2 + 1}$.

1. Область определения функции.

Знаменатель дроби $x^2 + 1 \ne 0$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 1 \ge 1$. Следовательно, знаменатель никогда не обращается в ноль. Область определения функции — вся числовая прямая: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{1}{(-x)^2 + 1} = \frac{1}{x^2 + 1} = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{1}{0^2 + 1} = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
С осью Ox (при $y=0$): $\frac{1}{x^2 + 1} = 0$. Уравнение не имеет решений. Точек пересечения с осью Ox нет.

4. Промежутки знакопостоянства.

Числитель $1 > 0$, знаменатель $x^2 + 1 > 0$ при всех $x$. Следовательно, $y > 0$ на всей области определения.

5. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой.
Найдем горизонтальные асимптоты: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2 + 1} = 0$.
Следовательно, прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to \pm\infty$.

6. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = \left(\frac{1}{x^2 + 1}\right)' = -\frac{(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.
Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow -2x = 0 \Rightarrow x=0$.
При $x < 0$, $y' > 0$, функция возрастает на $(-\infty, 0]$.
При $x > 0$, $y' < 0$, функция убывает на $[0, +\infty)$.
Точка $x=0$ является точкой максимума. $y_{max} = y(0) = 1$. Точка максимума: $(0, 1)$.

7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = \left(-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\right)' = -2 \frac{(x)'(x^2+1)^2 - x((x^2+1)^2)'}{(x^2+1)^4} = -2 \frac{(x^2+1)^2 - x \cdot 2(x^2+1) \cdot 2x}{(x^2+1)^4} = -2 \frac{x^2+1 - 4x^2}{(x^2+1)^3} = \frac{2(3x^2-1)}{(x^2+1)^3}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $y'' = 0 \Rightarrow 3x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$.
При $x \in (-\infty, -1/\sqrt{3}) \cup (1/\sqrt{3}, +\infty)$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
При $x \in (-1/\sqrt{3}, 1/\sqrt{3})$, $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
Точки $x = \pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ являются точками перегиба. $y(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{1}{(1/3)+1} = \frac{3}{4}$. Точки перегиба: $(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})$.

8. Построение графика.

На основе проведенного исследования строим график. Ключевые точки: максимум $(0, 1)$, точки перегиба $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})$ и $(-\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})$. Горизонтальная асимптота $y=0$. График симметричен относительно оси Oy и имеет колоколообразную форму.

Ответ: Функция $y = \frac{1}{x^2 + 1}$ является четной, определена на всей числовой оси, всегда положительна. Имеет максимум в точке $(0, 1)$, две точки перегиба $(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3}{4})$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График функции представляет собой кривую, симметричную относительно оси Oy, возрастающую на $(-\infty, 0]$ и убывающую на $[0, +\infty)$.

Исследуем функцию $y = \frac{-2}{x^2 + 4}$.

1. Область определения функции.

Знаменатель $x^2 + 4 \ne 0$. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 4 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{-2}{(-x)^2 + 4} = \frac{-2}{x^2 + 4} = y(x)$.
Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. График симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{-2}{0^2 + 4} = -\frac{2}{4} = -0.5$. Точка пересечения — $(0, -0.5)$.
С осью Ox (при $y=0$): $\frac{-2}{x^2 + 4} = 0$. Уравнение не имеет решений. Точек пересечения с осью Ox нет.

4. Промежутки знакопостоянства.

Числитель $-2 < 0$, знаменатель $x^2 + 4 > 0$ при всех $x$. Следовательно, $y < 0$ на всей области определения. График функции целиком лежит ниже оси Ox.

5. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна.
Найдем горизонтальные асимптоты: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{-2}{x^2 + 4} = 0$.
Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой графика функции при $x \to \pm\infty$.

6. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную: $y' = \left(\frac{-2}{x^2 + 4}\right)' = -2 \left((x^2+4)^{-1}\right)' = (-2)(-1)(x^2+4)^{-2}(2x) = \frac{4x}{(x^2+4)^2}$.
Приравняем производную к нулю: $y' = 0 \Rightarrow 4x = 0 \Rightarrow x=0$.
При $x < 0$, $y' < 0$, функция убывает на $(-\infty, 0]$.
При $x > 0$, $y' > 0$, функция возрастает на $[0, +\infty)$.
Точка $x=0$ является точкой минимума. $y_{min} = y(0) = -0.5$. Точка минимума: $(0, -0.5)$.

7. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Найдем вторую производную: $y'' = \left(\frac{4x}{(x^2+4)^2}\right)' = 4 \frac{(x)'(x^2+4)^2 - x((x^2+4)^2)'}{(x^2+4)^4} = 4 \frac{(x^2+4)^2 - x \cdot 2(x^2+4) \cdot 2x}{(x^2+4)^4} = 4 \frac{x^2+4 - 4x^2}{(x^2+4)^3} = \frac{4(4-3x^2)}{(x^2+4)^3}$.
Приравняем вторую производную к нулю: $y'' = 0 \Rightarrow 4 - 3x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{3} \Rightarrow x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$.
При $x \in (-\infty, -2/\sqrt{3}) \cup (2/\sqrt{3}, +\infty)$, $y'' < 0$, график выпуклый (выпуклый вверх).
При $x \in (-2/\sqrt{3}, 2/\sqrt{3})$, $y'' > 0$, график вогнутый (выпуклый вниз).
Точки $x = \pm\frac{2}{\sqrt{3}}$ являются точками перегиба. $y(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{-2}{(4/3)+4} = \frac{-2}{16/3} = -\frac{3}{8}$. Точки перегиба: $(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{3}{8})$.

8. Построение графика.

На основе проведенного исследования строим график. Ключевые точки: минимум $(0, -0.5)$, точки перегиба $(\frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{3}{8})$ и $(-\frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{3}{8})$. Горизонтальная асимптота $y=0$. График симметричен относительно оси Oy, расположен ниже оси Ox и имеет форму "перевернутого колокола".

Ответ: Функция $y = \frac{-2}{x^2 + 4}$ является четной, определена на всей числовой оси, всегда отрицательна. Имеет минимум в точке $(0, -0.5)$, две точки перегиба $(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}, -\frac{3}{8})$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График функции симметричен относительно оси Oy, убывает на $(-\infty, 0]$ и возрастает на $[0, +\infty)$.