Номер 45.5, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.5. a) $y = \frac{x}{x^2 - 4}$;

б) $y = \frac{x - 3}{x^2 - 8}$.

а)

Проведем полное исследование функции $y = \frac{x}{x^2 - 4}$.

1. Область определения.

Функция определена для всех $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю.

$x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 4 \Rightarrow x \neq \pm 2$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

Найдем $y(-x)$: $y(-x) = \frac{-x}{(-x)^2 - 4} = \frac{-x}{x^2 - 4} = -y(x)$.

Так как $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{0}{0^2 - 4} = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{x}{x^2 - 4} = 0 \Rightarrow x=0$. Точка $(0, 0)$.

График проходит через начало координат.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: Прямые $x=-2$ и $x=2$ являются вертикальными асимптотами, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль, а числитель нет.

Горизонтальные асимптоты: Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$.

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x}{1 - 4/x^2} = \frac{0}{1} = 0$.

Прямая $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой.

Так как существует горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную:

$y' = \left(\frac{x}{x^2 - 4}\right)' = \frac{1 \cdot (x^2 - 4) - x \cdot (2x)}{(x^2 - 4)^2} = \frac{x^2 - 4 - 2x^2}{(x^2 - 4)^2} = \frac{-x^2 - 4}{(x^2 - 4)^2} = -\frac{x^2 + 4}{(x^2 - 4)^2}$.

Числитель $-(x^2 + 4)$ всегда отрицателен. Знаменатель $(x^2 - 4)^2$ всегда положителен в области определения. Следовательно, $y' < 0$ для всех $x$ из $D(y)$.

Функция убывает на всей области определения: на промежутках $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.

Точек экстремума нет.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(-\frac{x^2 + 4}{(x^2 - 4)^2}\right)' = - \frac{2x(x^2 - 4)^2 - (x^2 + 4) \cdot 2(x^2 - 4) \cdot 2x}{(x^2 - 4)^4} = - \frac{2x(x^2 - 4) [ (x^2 - 4) - 2(x^2 + 4) ]}{(x^2 - 4)^4}$

$y'' = - \frac{2x(-x^2 - 12)}{(x^2-4)^3} = \frac{2x(x^2 + 12)}{(x^2 - 4)^3}$.

$y'' = 0$ при $x=0$.

Определим знаки $y''$ на интервалах:

При $x \in (-\infty; -2)$, $y'' < 0$ (выпукла вниз / concave down).

При $x \in (-2; 0)$, $y'' > 0$ (выпукла вверх / concave up).

При $x \in (0; 2)$, $y'' < 0$ (выпукла вниз / concave down).

При $x \in (2; +\infty)$, $y'' > 0$ (выпукла вверх / concave up).

В точке $x=0$ вторая производная меняет знак, значит, $(0, y(0)) = (0, 0)$ является точкой перегиба.

Ответ: Функция $y = \frac{x}{x^2-4}$ является нечетной, убывает на всей области определения $(-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$, не имеет экстремумов. Вертикальные асимптоты $x=-2$, $x=2$, горизонтальная асимптота $y=0$. Точка перегиба $(0,0)$. Функция выпукла вверх (вогнута) на $(-2; 0) \cup (2; +\infty)$ и выпукла вниз (выпукла) на $(-\infty; -2) \cup (0; 2)$.

б)

Проведем полное исследование функции $y = \frac{x - 3}{x^2 - 8}$.

1. Область определения.

$x^2 - 8 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 8 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{8} \Rightarrow x \neq \pm 2\sqrt{2}$.

Область определения: $D(y) = (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$.

2. Четность/нечетность.

$y(-x) = \frac{-x - 3}{(-x)^2 - 8} = \frac{-x-3}{x^2-8}$. Так как $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = \frac{0-3}{0-8} = \frac{3}{8}$. Точка $(0, 3/8)$.

Пересечение с осью Ox: $y=0 \Rightarrow \frac{x-3}{x^2-8} = 0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3$. Точка $(3, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальные асимптоты: $x=-2\sqrt{2}$ и $x=2\sqrt{2}$.

Горизонтальные асимптоты: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-3}{x^2 - 8} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x - 3/x^2}{1 - 8/x^2} = \frac{0}{1} = 0$.

Прямая $y=0$ является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную:

$y' = \left(\frac{x-3}{x^2-8}\right)' = \frac{1 \cdot (x^2-8) - (x-3) \cdot 2x}{(x^2-8)^2} = \frac{x^2-8 - 2x^2+6x}{(x^2-8)^2} = \frac{-x^2+6x-8}{(x^2-8)^2}$.

$y' = 0$ при $-x^2+6x-8=0 \Rightarrow x^2-6x+8=0$. Корни этого уравнения $x_1=2$ и $x_2=4$.

Знак производной зависит от знака числителя $-x^2+6x-8$ (парабола с ветвями вниз).

При $x \in (-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$, $y' < 0$, функция убывает.

При $x \in (2, 4)$, $y' > 0$, функция возрастает.

С учетом области определения:

Промежутки убывания: $(-\infty, -2\sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}, 2]$ и $[4, +\infty)$.

Промежутки возрастания: $[2, 2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2}, 4]$.

В точке $x=2$ производная меняет знак с "-" на "+", это точка локального минимума. $y(2) = \frac{2-3}{4-8} = \frac{1}{4}$. Точка минимума: $(2, 1/4)$.

В точке $x=4$ производная меняет знак с "+" на "-", это точка локального максимума. $y(4) = \frac{4-3}{16-8} = \frac{1}{8}$. Точка максимума: $(4, 1/8)$.

6. Промежутки выпуклости/вогнутости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$y'' = \left(\frac{-x^2+6x-8}{(x^2-8)^2}\right)' = \frac{(-2x+6)(x^2-8)^2 - (-x^2+6x-8) \cdot 2(x^2-8)(2x)}{(x^2-8)^4} = \frac{2(x^3 - 9x^2 + 24x - 24)}{(x^2 - 8)^3}$.

$y''=0$, если $x^3 - 9x^2 + 24x - 24 = 0$. Это кубическое уравнение имеет один действительный корень $x_0 \approx 5.35$.

Анализ знака $y''$ показывает:

При $x \in (-\infty; -2\sqrt{2})$, $y'' < 0$ (выпукла вниз).

При $x \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$, $y'' > 0$ (выпукла вверх).

При $x \in (2\sqrt{2}; x_0)$, $y'' < 0$ (выпукла вниз).

При $x \in (x_0; +\infty)$, $y'' > 0$ (выпукла вверх).

Точка с абсциссой $x_0$ является точкой перегиба.

Ответ: Функция $y = \frac{x - 3}{x^2 - 8}$ имеет область определения $(-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; +\infty)$. Асимптоты: вертикальные $x = \pm 2\sqrt{2}$, горизонтальная $y=0$. Функция убывает на $(-\infty, -2\sqrt{2})$, $(-2\sqrt{2}, 2]$ и $[4, +\infty)$, возрастает на $[2, 2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2}, 4]$. Локальный минимум в точке $(2, 1/4)$, локальный максимум в точке $(4, 1/8)$. Имеется одна точка перегиба при $x_0 \approx 5.35$.