Номер 45.9, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.9. a) $y = \sqrt{\frac{x-1}{x}};$

б) $y = (x-3)\sqrt{x}.$

а)

Проведем исследование функции $y = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$.

1. Область определения функции (ОДЗ)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Это приводит к системе неравенств:

Решим неравенство $\frac{x-1}{x} \ge 0$ методом интервалов. Корни числителя: $x-1=0 \implies x=1$. Корень знаменателя: $x=0$. Нанесем эти точки на числовую прямую. Точка $x=1$ будет закрашенной (включена), а точка $x=0$ — выколотой (исключена).

Проверим знаки на полученных интервалах:

• При $x > 1$: $\frac{+}{+} > 0$. Интервал $(1, +\infty)$ подходит.
• При $0 < x < 1$: $\frac{-}{+} < 0$. Интервал $(0, 1)$ не подходит.
• При $x < 0$: $\frac{-}{-} > 0$. Интервал $(-\infty, 0)$ подходит.

Объединяя результаты, получаем область определения: $D(y) = (-\infty, 0) \cup [1, +\infty)$.

2. Производная и критические точки

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции. Удобнее представить функцию как $y = (1 - \frac{1}{x})^{1/2}$.

Критические точки — это точки из области определения, где производная равна нулю или не существует.

• $y' = 0$: уравнение $\frac{1}{2x^2\sqrt{\frac{x-1}{x}}} = 0$ не имеет решений, так как числитель равен 1.
• $y'$ не существует, когда знаменатель равен 0. Это происходит, если $x=0$ (не входит в ОДЗ) или $\frac{x-1}{x}=0$, что дает $x=1$. Точка $x=1$ принадлежит ОДЗ и является критической.

3. Промежутки монотонности и экстремумы

Определим знак производной $y'$ на интервалах области определения: $(-\infty, 0)$ и $(1, +\infty)$.

Для любого $x$ из $D(y)$, где производная определена, $x^2 > 0$ и $\sqrt{\frac{x-1}{x}} > 0$. Значит, знаменатель производной всегда положителен, и сама производная $y' > 0$.

Следовательно, функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения: на $(-\infty, 0)$ и на $[1, +\infty)$.

Поскольку функция возрастает на $[1, +\infty)$, точка $x=1$ является точкой локального (и глобального) минимума. Точек максимума нет.

Найдем значение в точке минимума: $y_{min} = y(1) = \sqrt{\frac{1-1}{1}} = 0$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, 0)$ и $[1, +\infty)$; точка минимума $x=1$, $y_{min}=0$.

б)

Проведем исследование функции $y = (x-3)\sqrt{x}$.

1. Область определения функции (ОДЗ)

Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

Область определения: $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки

Найдем производную, используя правило произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

Приведем выражение к общему знаменателю:

Критические точки — это точки из ОДЗ, где производная равна нулю или не существует.

• $y' = 0$: $\frac{3(x-1)}{2\sqrt{x}}=0 \implies 3(x-1)=0 \implies x=1$. Точка $x=1$ принадлежит ОДЗ.
• $y'$ не существует: $2\sqrt{x}=0 \implies x=0$. Точка $x=0$ принадлежит ОДЗ.

Критические точки: $x=0$ и $x=1$.

3. Промежутки монотонности и экстремумы

Критические точки разбивают ОДЗ на интервалы $(0, 1)$ и $(1, +\infty)$. Определим знак производной на этих интервалах. Знак $y'$ зависит от знака числителя $3(x-1)$.

• На интервале $(0, 1)$: $x-1 < 0$, следовательно, $y' < 0$. Функция убывает на отрезке $[0, 1]$.
• На интервале $(1, +\infty)$: $x-1 > 0$, следовательно, $y' > 0$. Функция возрастает на отрезке $[1, +\infty)$.

Анализ смены знака производной в критических точках:

• В точке $x=0$ (граничная точка) функция начинает убывать, значит, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = (0-3)\sqrt{0} = 0$.
• В точке $x=1$ производная меняет знак с «-» на «+», значит, это точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = (1-3)\sqrt{1} = -2$.

Ответ: функция убывает на промежутке $[0, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, +\infty)$; точка максимума $x=0$, $y_{max}=0$; точка минимума $x=1$, $y_{min}=-2$.