Номер 45.16, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.16. $ \sqrt{x(4x^3 + 3x^2 - 6x + 2.75 - \sin \pi x)} = 0. $

Исходное уравнение имеет вид:

$ \sqrt{x(4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 - \sin \pi x)} = 0 $

Квадратный корень из выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само подкоренное выражение равно нулю. Кроме того, подкоренное выражение должно быть неотрицательным (область допустимых значений, ОДЗ). Условие равенства нулю автоматически удовлетворяет ОДЗ.

$ x(4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 - \sin \pi x) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x = 0$

Подставим $x=0$ в исходное уравнение, чтобы проверить, является ли он корнем:

$ \sqrt{0 \cdot (4 \cdot 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 6 \cdot 0 + 2,75 - \sin(\pi \cdot 0))} = \sqrt{0 \cdot (2,75 - 0)} = \sqrt{0} = 0 $

Равенство $0=0$ верно, следовательно, $x=0$ является корнем уравнения.

Случай 2: $4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 - \sin \pi x = 0$

Перепишем уравнение в виде:

$ 4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 = \sin \pi x $

Для решения этого трансцендентного уравнения введем две функции и проанализируем их свойства:

• $ f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 6x + 2,75 $ (кубический многочлен)
• $ g(x) = \sin \pi x $ (тригонометрическая функция)

Мы ищем точки пересечения графиков этих функций. Область значений функции $g(x)=\sin \pi x$ есть отрезок $[-1, 1]$.

Найдем экстремумы функции $f(x)$. Для этого найдем её производную:

$ f'(x) = 12x^2 + 6x - 6 = 6(2x^2 + x - 1) $

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$ 2x^2 + x - 1 = 0 $

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0,5$.

Определим значения функции $f(x)$ в этих точках:

• При $x=-1$: $f(-1) = 4(-1)^3 + 3(-1)^2 - 6(-1) + 2,75 = -4 + 3 + 6 + 2,75 = 7,75$. Это точка локального максимума.
• При $x=0,5$: $f(0,5) = 4(0,5)^3 + 3(0,5)^2 - 6(0,5) + 2,75 = 4(0,125) + 3(0,25) - 3 + 2,75 = 0,5 + 0,75 - 3 + 2,75 = 1$. Это точка локального минимума.

Проверим значение функции $g(x)$ в точке $x=0,5$:

$ g(0,5) = \sin(\pi \cdot 0,5) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 $

Поскольку $f(0,5) = 1$ и $g(0,5) = 1$, то $x=0,5$ является решением уравнения $f(x)=g(x)$.

Более того, в точке $x=0,5$ функция $f(x)$ достигает своего локального минимума, а функция $g(x)$ — глобального максимума. Это означает, что их графики касаются в этой точке. Проверим их производные в этой точке:

$f'(0,5) = 6(2(0,5)^2 + 0,5 - 1) = 6(0,5 + 0,5 - 1) = 0$

$g'(x) = \pi \cos(\pi x)$, $g'(0,5) = \pi \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$

Поскольку производные равны, касательные к обоим графикам в точке $x=0,5$ горизонтальны, что подтверждает касание.

Теперь исследуем наличие других корней. Рассмотрим неравенство $f(x) \ge g(x)$.

Рассмотрим разность $f(x)-1$. Запишем $2,75 = \frac{11}{4}$ и $1 = \frac{4}{4}$.

$f(x) - 1 = 4x^3 + 3x^2 - 6x + \frac{11}{4} - 1 = 4x^3 + 3x^2 - 6x + \frac{7}{4}$

Мы знаем, что $x=0,5$ является корнем этого выражения, причем двойной кратности, так как $f'(0,5)=0$. Значит, $(x-0,5)^2$ или $(2x-1)^2 = 4x^2-4x+1$ является множителем. Выполнив деление многочленов, получим:

$4x^3 + 3x^2 - 6x + \frac{7}{4} = \frac{1}{4}(16x^3 + 12x^2 - 24x + 7) = \frac{1}{4}(4x^2 - 4x + 1)(4x + 7) = (x-0,5)^2(4x+7)$

Таким образом, уравнение $f(x)=1$ имеет корни $x=0,5$ (двойной) и $x = -7/4 = -1,75$.

Рассмотрим неравенство $f(x) \ge g(x)$ на разных промежутках.

При $x \ge -1,75$:

В этом случае $(4x+7) \ge 0$, а $(x-0,5)^2 \ge 0$. Следовательно, $f(x)-1 = (x-0,5)^2(4x+7) \ge 0$, то есть $f(x) \ge 1$.

В то же время, для любого $x$ значение $g(x) = \sin(\pi x) \le 1$.

Получаем цепочку неравенств: $f(x) \ge 1 \ge g(x)$.

Равенство $f(x)=g(x)$ возможно только тогда, когда обе функции одновременно равны 1. Это происходит при $x=0,5$. Таким образом, на промежутке $x \ge -1,75$ есть только один корень: $x=0,5$.

При $x < -1,75$:

Рассмотрим поведение функций на этом интервале. Проверим поведение на границах некоторого подынтервала. Например, возьмем интервал $(-2, -1,75)$.

• При $x=-1,75$: $f(-1,75)=1$, а $g(-1,75) = \sin(-1,75\pi) = \sin(-\frac{7\pi}{4}) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0,707$. Здесь $f(x) > g(x)$.
• При $x=-2$: $f(-2) = 4(-8)+3(4)-6(-2)+2,75 = -32+12+12+2,75 = -5,25$. А $g(-2)=\sin(-2\pi)=0$. Здесь $f(x) < g(x)$.

Поскольку на концах отрезка $[-2, -1,75]$ разность $H(x) = f(x)-g(x)$ принимает значения разных знаков ($H(-2)<0$ и $H(-1,75)>0$) и функция $H(x)$ непрерывна, то по теореме о промежуточном значении на интервале $(-2, -1,75)$ существует по крайней мере один корень уравнения $H(x)=0$.

Можно показать, что на этом интервале производная $H'(x) = f'(x) - g'(x) > 0$, следовательно, функция $H(x)$ монотонно возрастает, и корень единственный. Однако этот корень не может быть выражен через элементарные функции.

В задачах подобного типа, если не указано иное, обычно предполагается найти только те корни, которые можно найти аналитически. В данном случае это корни, полученные из очевидных свойств функций.

Объединяя результаты анализа:

• $x=0$ является корнем.
• $x=0,5$ является корнем.
• Существует еще один иррациональный корень на интервале $(-2, -1,75)$, который не выражается в элементарных функциях.

Если в задаче требуется найти все вещественные корни, то их три. Если же требуется найти только "хорошие" (например, рациональные) корни, то их два.

В стандартной постановке задачи "решить уравнение" обычно подразумевают нахождение всех корней, которые можно выразить аналитически.

Ответ: $x=0$; $x=0,5$.