Номер 46.2, страница 279, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.2. a) $y = (x - 1)^3 + 4$, $[-2; 1];$

б) $y = 7 - (2x - 8)^4$, $[-1; 3];$

в) $y = 5 - (3x + 6)$, $[-2; 0];$

г) $y = 2(x + 3)^6 - 4$, $[-1; 2].$

а) Задача состоит в нахождении наибольшего и наименьшего значений функции $y = (x - 1)^3 + 4$ на отрезке $[-2; 1]$.
Алгоритм решения:
1. Найти производную функции.
2. Найти критические точки функции (где производная равна нулю или не существует).
3. Выбрать критические точки, принадлежащие заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка.
5. Сравнить полученные значения и выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Находим производную функции:
$y' = ((x - 1)^3 + 4)' = 3(x - 1)^2 \cdot (x-1)' = 3(x - 1)^2$.
2. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$3(x - 1)^2 = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
3. Критическая точка $x = 1$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$ (является его правым концом).
4. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[-2; 1]$ (точка $x=1$ уже включена):
$y(-2) = (-2 - 1)^3 + 4 = (-3)^3 + 4 = -27 + 4 = -23$.
$y(1) = (1 - 1)^3 + 4 = 0^3 + 4 = 4$.
5. Сравниваем значения: -23 и 4. Наименьшее значение -23, наибольшее - 4.
Ответ: $y_{наим} = -23, y_{наиб} = 4$.

б) Находим наибольшее и наименьшее значения функции $y = 7 - (2x - 8)^4$ на отрезке $[-1; 3]$.
1. Находим производную функции:
$y' = (7 - (2x - 8)^4)' = -4(2x - 8)^3 \cdot (2x - 8)' = -4(2x - 8)^3 \cdot 2 = -8(2x - 8)^3$.
2. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$-8(2x - 8)^3 = 0 \implies 2x - 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
3. Критическая точка $x = 4$ не принадлежит отрезку $[-1; 3]$.
4. Так как на отрезке нет критических точек, функция на нем монотонна. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычисляем их:
$y(-1) = 7 - (2(-1) - 8)^4 = 7 - (-10)^4 = 7 - 10000 = -9993$.
$y(3) = 7 - (2(3) - 8)^4 = 7 - (6 - 8)^4 = 7 - (-2)^4 = 7 - 16 = -9$.
5. Сравниваем значения: -9993 и -9. Наименьшее значение -9993, наибольшее - -9.
Ответ: $y_{наим} = -9993, y_{наиб} = -9$.

в) Находим наибольшее и наименьшее значения функции $y = 5 - (3x + 6)$ на отрезке $[-2; 0]$.
Сначала упростим выражение для функции:
$y = 5 - 3x - 6 = -3x - 1$.
Это линейная функция вида $y = kx + b$ с коэффициентом $k = -3$. Так как $k < 0$, функция является монотонно убывающей на всей числовой оси, включая отрезок $[-2; 0]$.
Для монотонно убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в левом конце, а наименьшее — в правом.
1. Вычисляем значение в левом конце отрезка, $x = -2$:
$y(-2) = -3(-2) - 1 = 6 - 1 = 5$.
2. Вычисляем значение в правом конце отрезка, $x = 0$:
$y(0) = -3(0) - 1 = 0 - 1 = -1$.
Таким образом, наибольшее значение функции равно 5, а наименьшее равно -1.
Ответ: $y_{наим} = -1, y_{наиб} = 5$.

г) Находим наибольшее и наименьшее значения функции $y = 2(x + 3)^6 - 4$ на отрезке $[-1; 2]$.
1. Находим производную функции:
$y' = (2(x + 3)^6 - 4)' = 2 \cdot 6(x + 3)^5 \cdot (x+3)' = 12(x + 3)^5$.
2. Находим критические точки из условия $y' = 0$:
$12(x + 3)^5 = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x = -3$.
3. Критическая точка $x = -3$ не принадлежит отрезку $[-1; 2]$.
4. Так как на отрезке нет критических точек, функция на нем монотонна. Для $x \in [-1; 2]$ производная $y' = 12(x + 3)^5$ положительна (т.к. $x+3 > 0$), значит, функция возрастает. Наибольшее и наименьшее значения достигаются на концах отрезка. Вычисляем их:
$y(-1) = 2(-1 + 3)^6 - 4 = 2(2)^6 - 4 = 2 \cdot 64 - 4 = 128 - 4 = 124$.
$y(2) = 2(2 + 3)^6 - 4 = 2(5)^6 - 4 = 2 \cdot 15625 - 4 = 31250 - 4 = 31246$.
5. Сравниваем значения: 124 и 31246. Наименьшее значение 124, наибольшее - 31246.
Ответ: $y_{наим} = 124, y_{наиб} = 31246$.