Номер 46.1, страница 279, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.1. а) $y = x^8 - 1$, $[-1; 2];$

б) $y = -x^5 + 2$, $[-2; 1];$

В) $y = x^3 - 4$, $[0; 3];$

Г) $y = -2x^4 + 8$, $[0; 3].$

а) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^8 - 1$ на отрезке $[-1; 2]$ используется следующий алгоритм:
1. Находим производную функции: $y' = (x^8 - 1)' = 8x^7$.
2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю: $8x^7 = 0$, откуда получаем $x = 0$.
3. Проверяем, принадлежит ли критическая точка $x=0$ заданному отрезку $[-1; 2]$. Точка $x=0$ принадлежит этому отрезку.
4. Вычисляем значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка:
$y(0) = 0^8 - 1 = -1$
$y(-1) = (-1)^8 - 1 = 1 - 1 = 0$
$y(2) = 2^8 - 1 = 256 - 1 = 255$
5. Сравниваем полученные значения: -1, 0 и 255. Наименьшее из этих значений равно -1, а наибольшее равно 255.
Ответ: $y_{наим} = -1$, $y_{наиб} = 255$.

б) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -x^5 + 2$ на отрезке $[-2; 1]$:
1. Находим производную функции: $y' = (-x^5 + 2)' = -5x^4$.
2. Находим критические точки: $-5x^4 = 0$, откуда $x = 0$.
3. Критическая точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-2; 1]$.
4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$y(0) = -(0)^5 + 2 = 2$
$y(-2) = -(-2)^5 + 2 = -(-32) + 2 = 32 + 2 = 34$
$y(1) = -(1)^5 + 2 = -1 + 2 = 1$
5. Сравниваем полученные значения: 2, 34 и 1. Наименьшее из этих значений равно 1, а наибольшее равно 34.
Ответ: $y_{наим} = 1$, $y_{наиб} = 34$.

в) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = x^3 - 4$ на отрезке $[0; 3]$:
1. Находим производную функции: $y' = (x^3 - 4)' = 3x^2$.
2. Находим критические точки: $3x^2 = 0$, откуда $x = 0$.
3. Критическая точка $x=0$ совпадает с левым концом отрезка $[0; 3]$. Поэтому для нахождения экстремумов достаточно вычислить значения функции на концах отрезка.
4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
$y(0) = 0^3 - 4 = -4$
$y(3) = 3^3 - 4 = 27 - 4 = 23$
5. Сравнивая значения $y(0)=-4$ и $y(3)=23$, заключаем, что наименьшее значение функции равно -4, а наибольшее — 23.
Ответ: $y_{наим} = -4$, $y_{наиб} = 23$.

г) Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции $y = -2x^4 + 8$ на отрезке $[0; 3]$:
1. Находим производную функции: $y' = (-2x^4 + 8)' = -8x^3$.
2. Находим критические точки: $-8x^3 = 0$, откуда $x = 0$.
3. Критическая точка $x=0$ совпадает с левым концом отрезка $[0; 3]$. Поэтому для нахождения экстремумов достаточно вычислить значения функции на концах отрезка.
4. Вычисляем значения функции на концах отрезка:
$y(0) = -2(0)^4 + 8 = 8$
$y(3) = -2(3)^4 + 8 = -2(81) + 8 = -162 + 8 = -154$
5. Сравнивая значения $y(0)=8$ и $y(3)=-154$, заключаем, что наименьшее значение функции равно -154, а наибольшее — 8.
Ответ: $y_{наим} = -154$, $y_{наиб} = 8$.