Номер 46.3, страница 279, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.3. а) $y = \sin x - 3$, $\left[\frac{\pi}{2}; 3\pi\right];$

б) $y = \cos x + 0,5$, $\left[-\pi; \frac{\pi}{3}\right];$

в) $y = -2 \sin x + 1$, $\left[\frac{\pi}{3}; \frac{5}{6}\pi\right];$

г) $y = 4 - 3 \cos x$, $\left[-\frac{\pi}{4}; \frac{7}{6}\pi\right].$

а) Для функции $y = \sin x - 3$ на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 3\pi]$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения. Сначала определим диапазон значений функции $\sin x$ на данном отрезке. Область значений синуса — это $[-1, 1]$. Длина заданного отрезка $3\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{2}$, что больше полного периода $2\pi$. Это означает, что на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 3\pi]$ функция $\sin x$ принимает все свои возможные значения. Наибольшее значение $\sin x$ равно 1 (достигается, например, при $x = \frac{\pi}{2}$ или $x = \frac{5\pi}{2}$). Наименьшее значение $\sin x$ равно -1 (достигается при $x = \frac{3\pi}{2}$). Следовательно, наибольшее значение функции $y$ будет: $y_{наиб} = 1 - 3 = -2$. А наименьшее значение функции $y$ будет: $y_{наим} = -1 - 3 = -4$.
Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшее значение равно -2.

б) Для функции $y = \cos x + 0,5$ на отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{3}]$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения. Рассмотрим значения, которые принимает $\cos x$ на этом отрезке. На заданном отрезке находится точка $x=0$, в которой косинус достигает своего максимума: $\cos(0) = 1$. Также на границе отрезка находится точка $x=-\pi$, в которой косинус достигает своего минимума: $\cos(-\pi) = -1$. Таким образом, на отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{3}]$ функция $\cos x$ принимает все значения от -1 до 1. Наибольшее значение функции $y$ равно: $y_{наиб} = 1 + 0,5 = 1,5$. Наименьшее значение функции $y$ равно: $y_{наим} = -1 + 0,5 = -0,5$.
Ответ: наименьшее значение функции равно -0,5, наибольшее значение равно 1,5.

в) Для функции $y = -2 \sin x + 1$ на отрезке $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения. Сначала определим диапазон значений функции $\sin x$ на отрезке $[\frac{\pi}{3}; \frac{5\pi}{6}]$. Данный отрезок включает точку $x = \frac{\pi}{2}$, в которой синус достигает своего максимума: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Вычислим значения синуса на концах отрезка: $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $\sin(\frac{5\pi}{6}) = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Сравнивая значения, видим, что наименьшее значение $\sin x$ на отрезке равно $\frac{1}{2}$, а наибольшее равно 1. Таким образом, $\sin x \in [\frac{1}{2}, 1]$. Так как функция $y = -2 \sin x + 1$ имеет отрицательный коэффициент перед $\sin x$, она является убывающей относительно $\sin x$. Это значит, что её наибольшее значение достигается при наименьшем значении $\sin x$, и наоборот. Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = -2 \cdot (\frac{1}{2}) + 1 = -1 + 1 = 0$. Наименьшее значение функции $y$: $y_{наим} = -2 \cdot 1 + 1 = -2 + 1 = -1$.
Ответ: наименьшее значение функции равно -1, наибольшее значение равно 0.

г) Для функции $y = 4 - 3 \cos x$ на отрезке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}]$ необходимо найти наибольшее и наименьшее значения. Определим диапазон значений функции $\cos x$ на данном отрезке. Отрезок $[-\frac{\pi}{4}; \frac{7\pi}{6}]$ содержит точку $x=0$, где $\cos(0) = 1$ (максимум косинуса), и точку $x=\pi$, где $\cos(\pi) = -1$ (минимум косинуса). Следовательно, на этом отрезке функция $\cos x$ принимает все значения от -1 до 1. Функция $y = 4 - 3 \cos x$ имеет отрицательный коэффициент перед $\cos x$, поэтому она убывает при возрастании $\cos x$. Наибольшее значение $y$ будет при наименьшем значении $\cos x$, а наименьшее значение $y$ — при наибольшем значении $\cos x$. Наибольшее значение функции $y$: $y_{наиб} = 4 - 3 \cdot (-1) = 4 + 3 = 7$. Наименьшее значение функции $y$: $y_{наим} = 4 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1$.
Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 7.