Номер 46.10, страница 280, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.10. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1$ на отрезке:

а) $[-1; 3]$;

б) $[3; 6]$;

в) $[-2; 3]$;

г) $[3; 5]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах этого отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравнить полученные результаты.

Исходная функция: $y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1$.

1. Найдем производную функции:

$y' = (x^3 - 9x^2 + 24x - 1)' = 3x^2 - 18x + 24$

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 18x + 24 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$x^2 - 6x + 8 = 0$

Корни этого квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант) равны:

$x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Это критические точки функции. Теперь проанализируем каждый отрезок.

a) [-1; 3]

В данный отрезок входит только одна критическая точка: $x = 2$. Точка $x=4$ не принадлежит отрезку.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x = -1$, $x = 3$) и в критической точке $x = 2$:

• $y(-1) = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 24(-1) - 1 = -1 - 9 - 24 - 1 = -35$
• $y(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 - 1 = 8 - 36 + 48 - 1 = 19$
• $y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$

Сравнивая полученные значения $\{-35, 19, 17\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение 19, наименьшее значение -35.

б) [3; 6]

В данный отрезок входит только одна критическая точка: $x = 4$. Точка $x=2$ не принадлежит отрезку.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x = 3$, $x = 6$) и в критической точке $x = 4$:

• $y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$
• $y(4) = 4^3 - 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 - 1 = 64 - 144 + 96 - 1 = 15$
• $y(6) = 6^3 - 9 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 - 1 = 216 - 324 + 144 - 1 = 35$

Сравнивая полученные значения $\{17, 15, 35\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение 35, наименьшее значение 15.

в) [-2; 3]

В данный отрезок входит только одна критическая точка: $x = 2$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x = -2$, $x = 3$) и в критической точке $x = 2$:

• $y(-2) = (-2)^3 - 9(-2)^2 + 24(-2) - 1 = -8 - 36 - 48 - 1 = -93$
• $y(2) = 2^3 - 9 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 - 1 = 8 - 36 + 48 - 1 = 19$
• $y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$

Сравнивая полученные значения $\{-93, 19, 17\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение 19, наименьшее значение -93.

г) [3; 5]

В данный отрезок входит только одна критическая точка: $x = 4$.

Вычислим значения функции на концах отрезка ($x = 3$, $x = 5$) и в критической точке $x = 4$:

• $y(3) = 3^3 - 9 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 - 1 = 27 - 81 + 72 - 1 = 17$
• $y(4) = 4^3 - 9 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 - 1 = 64 - 144 + 96 - 1 = 15$
• $y(5) = 5^3 - 9 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5 - 1 = 125 - 225 + 120 - 1 = 19$

Сравнивая полученные значения $\{17, 15, 19\}$, находим наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее значение 19, наименьшее значение 15.