Номер 46.14, страница 280, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.14. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x + \frac{4}{x - 1}$ на отрезке:

а) [2; 4];

б) [-2; 0].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из полученных значений самое большое и самое маленькое.

Заданная функция: $y = x + \frac{4}{x-1}$.

1. Найдём производную функции, чтобы определить критические точки. Используем правило дифференцирования частного и суммы.

$y' = (x)' + \left(\frac{4}{x-1}\right)' = 1 - \frac{4}{(x-1)^2}$.

2. Найдём критические точки, приравняв производную к нулю. Производная не существует в точке $x=1$, но эта точка не входит в область определения функции.

$1 - \frac{4}{(x-1)^2} = 0$

$1 = \frac{4}{(x-1)^2}$

$(x-1)^2 = 4$

Извлекая корень из обеих частей, получаем два уравнения:

$x-1 = 2 \implies x_1 = 3$

$x-1 = -2 \implies x_2 = -1$

Таким образом, критические точки функции: $x=3$ и $x=-1$.

а) [2; 4]

Рассмотрим отрезок $[2; 4]$. Из двух критических точек только $x = 3$ принадлежит этому отрезку.

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка (в точках $x=2$ и $x=4$) и в критической точке $x=3$:

• $y(2) = 2 + \frac{4}{2-1} = 2 + 4 = 6$
• $y(3) = 3 + \frac{4}{3-1} = 3 + \frac{4}{2} = 3 + 2 = 5$
• $y(4) = 4 + \frac{4}{4-1} = 4 + \frac{4}{3} = \frac{12+4}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$

Сравнивая полученные значения ($6, 5, 5\frac{1}{3}$), находим, что наибольшее значение равно 6, а наименьшее — 5.

Ответ: $y_{наиб}=6$, $y_{наим}=5$.

б) [-2; 0]

Рассмотрим отрезок $[-2; 0]$. Из двух критических точек только $x = -1$ принадлежит этому отрезку.

Вычислим значения функции на концах отрезка (в точках $x=-2$ и $x=0$) и в критической точке $x=-1$:

• $y(-2) = -2 + \frac{4}{-2-1} = -2 - \frac{4}{3} = -\frac{10}{3} = -3\frac{1}{3}$
• $y(-1) = -1 + \frac{4}{-1-1} = -1 - 2 = -3$
• $y(0) = 0 + \frac{4}{0-1} = 0 - 4 = -4$

Сравнивая полученные значения ($-3\frac{1}{3}$, $-3$, $-4$), находим, что наибольшее значение равно -3, а наименьшее — -4.

Ответ: $y_{наиб}=-3$, $y_{наим}=-4$.