Номер 46.15, страница 280, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.15. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на указанном отрезке:

а) $y = \operatorname{ctg} x + x, \left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right];$

б) $y = 2 \sin x - x, [0; \pi];$

в) $y = 2 \cos x + x, \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right];$

г) $y = \operatorname{tg} x - x, \left[0; \frac{\pi}{3}\right].$

а) $y = \ctg x + x$, на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, найдем её производную и определим её знак на данном отрезке.

1. Находим производную функции $y(x)$:

$y' = (\ctg x + x)' = -\frac{1}{\sin^2 x} + 1 = \frac{\sin^2 x - 1}{\sin^2 x} = -\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = -\ctg^2 x$.

2. Анализируем знак производной на отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.

Производная $y' = -\ctg^2 x$ является неположительной ($y' \le 0$) для всех $x$ из области определения функции. Производная равна нулю в точке $x = \frac{\pi}{2}$, которая принадлежит данному отрезку. Так как производная не меняет знак и является неположительной, функция $y(x)$ монотонно убывает на всем отрезке $\left[\frac{\pi}{4}; \frac{3\pi}{4}\right]$.

3. Для монотонно убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{\pi}{4}$ (наибольшее значение):

$y_{наиб} = y\left(\frac{\pi}{4}\right) = \ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{4} = 1 + \frac{\pi}{4}$.

Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{3\pi}{4}$ (наименьшее значение):

$y_{наим} = y\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \ctg\left(\frac{3\pi}{4}\right) + \frac{3\pi}{4} = -1 + \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -1 + \frac{3\pi}{4}$, наибольшее значение $y_{наиб} = 1 + \frac{\pi}{4}$.

б) $y = 2 \sin x - x$, на отрезке $[0; \pi]$

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, найдем её производную, критические точки и сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Находим производную функции $y(x)$:

$y' = (2 \sin x - x)' = 2 \cos x - 1$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$2 \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$.

На отрезке $[0; \pi]$ этому уравнению удовлетворяет единственная точка $x = \frac{\pi}{3}$.

3. Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x=\frac{\pi}{3}$ делит отрезок $[0; \pi]$.

На интервале $\left(0, \frac{\pi}{3}\right)$, $\cos x > \frac{1}{2}$, поэтому $y' > 0$, и функция возрастает.

На интервале $\left(\frac{\pi}{3}, \pi\right)$, $\cos x < \frac{1}{2}$, поэтому $y' < 0$, и функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{\pi}{3}$ функция достигает своего локального максимума, который и будет наибольшим значением на отрезке.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка.

Значение на левом конце отрезка: $y(0) = 2 \sin 0 - 0 = 0$.

Значение в точке максимума: $y\left(\frac{\pi}{3}\right) = 2 \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Значение на правом конце отрезка: $y(\pi) = 2 \sin \pi - \pi = 0 - \pi = -\pi$.

5. Сравниваем полученные значения: $-\pi < 0 < \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$, а наименьшее $y_{наим} = -\pi$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -\pi$, наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

в) $y = 2 \cos x + x$, на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$

Для нахождения экстремумов функции на отрезке, найдем её производную, критические точки и сравним значения функции в этих точках и на концах отрезка.

1. Находим производную функции $y(x)$:

$y' = (2 \cos x + x)' = -2 \sin x + 1$.

2. Находим критические точки, решая уравнение $y' = 0$:

$-2 \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = \frac{1}{2}$.

На отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ этому уравнению удовлетворяет единственная точка $x = \frac{\pi}{6}$.

3. Определим знак производной на интервалах, на которые точка $x=\frac{\pi}{6}$ делит отрезок $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$.

На интервале $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right)$, $\sin x < \frac{1}{2}$, поэтому $y' = 1 - 2\sin x > 0$, и функция возрастает.

На интервале $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$, $\sin x > \frac{1}{2}$, поэтому $y' < 0$, и функция убывает.

Следовательно, в точке $x = \frac{\pi}{6}$ функция достигает своего локального максимума, который будет наибольшим значением на отрезке.

4. Вычисляем значения функции в критической точке и на концах отрезка.

Значение на левом конце отрезка: $y\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2}$.

Значение в точке максимума: $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$.

Значение на правом конце отрезка: $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2} = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.

5. Сравниваем значения на концах отрезка, чтобы найти наименьшее: $-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2}$.

Наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$, а наименьшее $y_{наим} = -\frac{\pi}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = -\frac{\pi}{2}$, наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} + \frac{\pi}{6}$.

г) $y = \tg x - x$, на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке, найдем её производную и определим её знак на данном отрезке.

1. Находим производную функции $y(x)$:

$y' = (\tg x - x)' = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tg^2 x$.

2. Анализируем знак производной на отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$.

Производная $y' = \tg^2 x$ является неотрицательной ($y' \ge 0$) для всех $x$ из области определения. Производная равна нулю в точке $x = 0$, которая является левым концом отрезка. Так как производная неотрицательна, функция $y(x)$ монотонно возрастает на всем отрезке $\left[0; \frac{\pi}{3}\right]$.

3. Для монотонно возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Вычисляем значение функции в точке $x = 0$ (наименьшее значение):

$y_{наим} = y(0) = \tg 0 - 0 = 0$.

Вычисляем значение функции в точке $x = \frac{\pi}{3}$ (наибольшее значение):

$y_{наиб} = y\left(\frac{\pi}{3}\right) = \tg\left(\frac{\pi}{3}\right) - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 0$, наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$.