Номер 46.19, страница 281, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.19. а) $y = x^3 - 2x|x - 2|$, $[-1; 3];$

б) $y = 3x|x + 1| - x^3$, $[-1; 2].$

а)

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = x^3 - 2x|x - 2|$ на отрезке $[-1; 3]$.

Сначала раскроем модуль. Выражение под модулем $x-2$ меняет знак в точке $x=2$. Эта точка принадлежит заданному отрезку $[-1; 3]$, поэтому рассмотрим функцию на двух промежутках: $[-1; 2]$ и $[2; 3]$.

1. При $x \in [-1; 2]$, имеем $x - 2 \le 0$, следовательно $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$. Функция принимает вид: $y = x^3 - 2x(2 - x) = x^3 - 4x + 2x^2 = x^3 + 2x^2 - 4x$. Найдём производную этой функции: $y' = (x^3 + 2x^2 - 4x)' = 3x^2 + 4x - 4$. Приравняем производную к нулю, чтобы найти стационарные точки: $3x^2 + 4x - 4 = 0$. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$. $x_1 = \frac{-4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-12}{6} = -2$. $x_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. Точка $x_1 = -2$ не принадлежит отрезку $[-1; 3]$. Точка $x_2 = 2/3$ принадлежит отрезку $[-1; 3]$ (и промежутку $[-1; 2]$), поэтому это критическая точка.

2. При $x \in [2; 3]$, имеем $x - 2 \ge 0$, следовательно $|x - 2| = x - 2$. Функция принимает вид: $y = x^3 - 2x(x - 2) = x^3 - 2x^2 + 4x$. Найдём производную: $y' = (x^3 - 2x^2 + 4x)' = 3x^2 - 4x + 4$. Приравняем производную к нулю: $3x^2 - 4x + 4 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16 - 48 = -32 < 0$. Так как дискриминант отрицателен, уравнение не имеет действительных корней, и на этом промежутке стационарных точек нет.

3. Точка $x=2$ является точкой "стыка" двух частей функции, в которой производная может не существовать (и действительно не существует, так как односторонние производные не равны). Поэтому $x=2$ также является критической точкой.

4. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[-1; 3]$ необходимо вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах. Точки для проверки: $x = -1$ (конец отрезка), $x = 2/3$ (критическая точка), $x = 2$ (критическая точка), $x = 3$ (конец отрезка). Вычисляем значения функции $y$: При $x = -1$ (используем формулу для $x \le 2$): $y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 - 4(-1) = -1 + 2 + 4 = 5$. При $x = 2/3$ (используем формулу для $x \le 2$): $y(2/3) = (2/3)^3 + 2(2/3)^2 - 4(2/3) = 8/27 + 2(4/9) - 8/3 = 8/27 + 24/27 - 72/27 = -40/27$. При $x = 2$: $y(2) = 2^3 - 2 \cdot 2 \cdot |2 - 2| = 8 - 0 = 8$. При $x = 3$ (используем формулу для $x \ge 2$): $y(3) = 3^3 - 2(3^2) + 4(3) = 27 - 18 + 12 = 21$.

5. Сравниваем полученные значения: $5$, $-40/27$, $8$, $21$. Наибольшее значение функции на отрезке: $y_{max} = 21$. Наименьшее значение функции на отрезке: $y_{min} = -40/27$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $21$, наименьшее значение функции равно $-40/27$.

б)

Найдём наибольшее и наименьшее значения функции $y = 3x|x + 1| - x^3$ на отрезке $[-1; 2]$.

Раскроем модуль. Выражение под модулем $x+1$ меняет знак в точке $x=-1$. На заданном отрезке $[-1; 2]$ выполняется условие $x \ge -1$, следовательно $x+1 \ge 0$ и $|x+1| = x+1$. Таким образом, на всем отрезке $[-1; 2]$ функция имеет вид: $y = 3x(x + 1) - x^3 = 3x^2 + 3x - x^3$. Запишем в стандартном виде: $y = -x^3 + 3x^2 + 3x$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке найдём производную функции и приравняем её к нулю для поиска критических точек. $y' = (-x^3 + 3x^2 + 3x)' = -3x^2 + 6x + 3$. Решим уравнение $y' = 0$: $-3x^2 + 6x + 3 = 0$. Разделим обе части на $-3$: $x^2 - 2x - 1 = 0$. Решим квадратное уравнение: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$. $x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$. Получаем две стационарные точки: $x_1 = 1 + \sqrt{2}$ и $x_2 = 1 - \sqrt{2}$.

Проверим, принадлежат ли эти точки отрезку $[-1; 2]$. $x_1 = 1 + \sqrt{2} \approx 1 + 1.414 = 2.414$. Эта точка не принадлежит отрезку $[-1; 2]$. $x_2 = 1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414$. Эта точка принадлежит отрезку $[-1; 2]$.

Теперь вычислим значения функции в найденной критической точке $x = 1 - \sqrt{2}$ и на концах отрезка $x = -1$ и $x = 2$. При $x = -1$: $y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 3(-1) = 1 + 3(1) - 3 = 1$. При $x = 2$: $y(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 + 3(2) = -8 + 3(4) + 6 = -8 + 12 + 6 = 10$. При $x = 1 - \sqrt{2}$: $y(1 - \sqrt{2}) = -(1 - \sqrt{2})^3 + 3(1 - \sqrt{2})^2 + 3(1 - \sqrt{2})$. Чтобы упростить вычисления, воспользуемся тем, что в этой точке $x^2 - 2x - 1 = 0$, откуда $x^2 = 2x+1$. $y = -x^3 + 3x^2 + 3x = -x(x^2) + 3x^2 + 3x = -x(2x+1) + 3(2x+1) + 3x = -2x^2 - x + 6x + 3 + 3x = -2x^2 + 8x + 3$. Снова подставим $x^2 = 2x+1$: $y = -2(2x+1) + 8x + 3 = -4x - 2 + 8x + 3 = 4x + 1$. Теперь подставим значение $x = 1 - \sqrt{2}$: $y(1 - \sqrt{2}) = 4(1 - \sqrt{2}) + 1 = 4 - 4\sqrt{2} + 1 = 5 - 4\sqrt{2}$.

Сравним полученные значения: $1$, $10$ и $5 - 4\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $5 - 4\sqrt{2} \approx 5 - 4 \cdot 1.414 = 5 - 5.656 = -0.656$. Следовательно, наибольшее значение $y_{max} = 10$, а наименьшее $y_{min} = 5 - 4\sqrt{2}$.

Ответ: наибольшее значение функции равно $10$, наименьшее значение функции равно $5 - 4\sqrt{2}$.