Номер 46.12, страница 280, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = x^3 - 9x^2 + 15x - 3$ на отрезке:

а) [0; 2];

б) [3; 6];

в) [-1; 3];

г) [2; 7].

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке используется следующий алгоритм:

1. Найти производную функции $y'(x)$.
2. Найти стационарные (критические) точки функции, решив уравнение $y'(x) = 0$.
3. Выбрать те критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
4. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.
5. Среди полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Исходная функция: $y = x? - 9x? + 15x - 3$.

1. Находим производную:

$y'(x) = (x? - 9x? + 15x - 3)' = 3x? - 18x + 15$.

2. Находим критические точки:

$3x? - 18x + 15 = 0$

Разделим обе части на 3:

$x? - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

Теперь решим задачу для каждого из указанных отрезков.

а) [0; 2]

Заданный отрезок: $[0; 2]$.

Из критических точек $x=1$ и $x=5$ отрезку $[0; 2]$ принадлежит только точка $x=1$.

Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=0$, $x=2$) и в критической точке $x=1$:

• $y(0) = 0? - 9(0)? + 15(0) - 3 = -3$
• $y(1) = 1? - 9(1)? + 15(1) - 3 = 1 - 9 + 15 - 3 = 4$
• $y(2) = 2? - 9(2)? + 15(2) - 3 = 8 - 36 + 30 - 3 = -1$

Сравнивая значения $-3, 4, -1$, находим, что наибольшее значение равно 4, а наименьшее равно -3.

Ответ: $y_{наиб} = 4$, $y_{наим} = -3$.

б) [3; 6]

Заданный отрезок: $[3; 6]$.

Из критических точек $x=1$ и $x=5$ отрезку $[3; 6]$ принадлежит только точка $x=5$.

Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=3$, $x=6$) и в критической точке $x=5$:

• $y(3) = 3? - 9(3)? + 15(3) - 3 = 27 - 81 + 45 - 3 = -12$
• $y(5) = 5? - 9(5)? + 15(5) - 3 = 125 - 225 + 75 - 3 = -28$
• $y(6) = 6? - 9(6)? + 15(6) - 3 = 216 - 324 + 90 - 3 = -21$

Сравнивая значения $-12, -28, -21$, находим, что наибольшее значение равно -12, а наименьшее равно -28.

Ответ: $y_{наиб} = -12$, $y_{наим} = -28$.

в) [-1; 3]

Заданный отрезок: $[-1; 3]$.

Из критических точек $x=1$ и $x=5$ отрезку $[-1; 3]$ принадлежит только точка $x=1$.

Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=-1$, $x=3$) и в критической точке $x=1$:

• $y(-1) = (-1)? - 9(-1)? + 15(-1) - 3 = -1 - 9 - 15 - 3 = -28$
• $y(1) = 1? - 9(1)? + 15(1) - 3 = 1 - 9 + 15 - 3 = 4$
• $y(3) = 3? - 9(3)? + 15(3) - 3 = 27 - 81 + 45 - 3 = -12$

Сравнивая значения $-28, 4, -12$, находим, что наибольшее значение равно 4, а наименьшее равно -28.

Ответ: $y_{наиб} = 4$, $y_{наим} = -28$.

г) [2; 7]

Заданный отрезок: $[2; 7]$.

Из критических точек $x=1$ и $x=5$ отрезку $[2; 7]$ принадлежит только точка $x=5$.

Вычисляем значения функции на концах отрезка ($x=2$, $x=7$) и в критической точке $x=5$:

• $y(2) = 2? - 9(2)? + 15(2) - 3 = 8 - 36 + 30 - 3 = -1$
• $y(5) = 5? - 9(5)? + 15(5) - 3 = 125 - 225 + 75 - 3 = -28$
• $y(7) = 7? - 9(7)? + 15(7) - 3 = 343 - 441 + 105 - 3 = 4$

Сравнивая значения $-1, -28, 4$, находим, что наибольшее значение равно 4, а наименьшее равно -28.

Ответ: $y_{наиб} = 4$, $y_{наим} = -28$.