Номер 46.5, страница 279, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

46.5. a) $y = \left| \left| x \right| - 4 \right|$, $[-3; 3]$;

б) $y = \left| 3 - \left| x \right| \right|$, $[-4, 4]$.

а) Требуется построить график функции $y = ||x| - 4|$ на отрезке $[-3; 3]$.

Построение графика можно выполнить в несколько шагов:

1. Сначала построим график базовой функции $y_1 = |x|$. Это две прямые, $y=x$ при $x \ge 0$ и $y=-x$ при $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.
2. Затем построим график функции $y_2 = |x| - 4$. Этот график получается из графика $y_1 = |x|$ сдвигом вниз по оси Oy на 4 единицы. Вершина сместится в точку $(0, -4)$.
3. Теперь построим график итоговой функции $y = ||x| - 4|$. Этот график получается из графика $y_2 = |x| - 4$ путем симметричного отражения относительно оси Ox той части графика, которая находится ниже оси Ox. Часть графика $y_2$ находится ниже оси Ox при $|x| - 4 < 0$, то есть при $|x| < 4$, что соответствует интервалу $(-4, 4)$.
4. Нам нужно построить график на отрезке $x \in [-3; 3]$. Этот отрезок полностью лежит внутри интервала $(-4, 4)$, на котором, как мы выяснили, выражение $|x|-4$ отрицательно.

Следовательно, на отрезке $[-3; 3]$ модуль раскрывается следующим образом: $y = ||x| - 4| = -(|x| - 4) = 4 - |x|$.

Таким образом, задача сводится к построению графика функции $y = 4 - |x|$ на отрезке $[-3; 3]$.

Найдем координаты ключевых точек:

• При $x = -3$: $y = 4 - |-3| = 4 - 3 = 1$. Точка $(-3, 1)$.
• При $x = 0$: $y = 4 - |0| = 4 - 0 = 4$. Точка $(0, 4)$ (вершина).
• При $x = 3$: $y = 4 - |3| = 4 - 3 = 1$. Точка $(3, 1)$.

График состоит из двух отрезков прямых: отрезка, соединяющего точки $(-3, 1)$ и $(0, 4)$, и отрезка, соединяющего точки $(0, 4)$ и $(3, 1)$.

Ответ: График функции на отрезке $[-3; 3]$ представляет собой ломаную линию, состоящую из двух отрезков, соединяющих точки с координатами $(-3, 1)$, $(0, 4)$ и $(3, 1)$.

б) Требуется построить график функции $y = |3 - |x||$ на отрезке $[-4; 4]$.

Заметим, что в силу свойства модуля $|a| = |-a|$, мы можем переписать функцию как $y = |-(|x| - 3)| = ||x| - 3|$.

Построение графика функции $y = ||x| - 3|$ выполняется аналогично предыдущему пункту:

1. Строим график $y_1 = |x|$.
2. Сдвигаем его на 3 единицы вниз, получаем график $y_2 = |x| - 3$. Вершина в точке $(0, -3)$, пересечения с осью Ox в точках $x=-3$ и $x=3$.
3. Отражаем часть графика $y_2$, лежащую ниже оси Ox, относительно этой оси. Отрицательные значения $y_2$ принимаются на интервале $(-3, 3)$.

Таким образом, итоговая функция $y = ||x| - 3|$ будет задана кусочно:

• $y = |x| - 3$, если $|x| \ge 3$ (т.е. $x \le -3$ или $x \ge 3$)
• $y = -(|x| - 3) = 3 - |x|$, если $|x| < 3$ (т.е. $-3 < x < 3$)

Рассмотрим функцию на заданном отрезке $x \in [-4; 4]$. Нам нужно учесть все участки.

Найдем координаты ключевых точек на отрезке $[-4; 4]$:

• При $x = -4$ (участок $|x| \ge 3$): $y = |-4| - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(-4, 1)$.
• При $x = -3$ (точка "излома"): $y = |-3| - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.
• При $x = 0$ (участок $|x| < 3$): $y = 3 - |0| = 3$. Точка $(0, 3)$ (локальный максимум, вершина).
• При $x = 3$ (точка "излома"): $y = |3| - 3 = 3 - 3 = 0$. Точка $(3, 0)$.
• При $x = 4$ (участок $|x| \ge 3$): $y = |4| - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка $(4, 1)$.

График состоит из четырех отрезков прямых, последовательно соединяющих вычисленные точки. Внешне он напоминает букву "W".

Ответ: График функции на отрезке $[-4; 4]$ представляет собой ломаную линию, состоящую из четырех отрезков, последовательно соединяющих точки с координатами $(-4, 1)$, $(-3, 0)$, $(0, 3)$, $(3, 0)$ и $(4, 1)$.