Номер 45.15, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

45.15. a) $3\sqrt{x+1} = -x^3 + 3x^2 + 6$;

б) $x^3 - 3x = (x+1)^6 + 2.$

а) $3\sqrt{x+1} = -x^3 + 3x^2 + 6$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Преобразуем правую часть уравнения. Для этого найдем целые корни многочлена $P(x) = -x^3 + 3x^2 + 6 - C$ для удобного $C$. Заметим, что правая часть при $x=3$ равна $-27+27+6=6$. Левая часть при $x=3$ равна $3\sqrt{3+1}=3\cdot2=6$. Таким образом, $x=3$ является корнем уравнения. Это позволяет нам предположить, что правую часть можно как-то удачно преобразовать.

Рассмотрим преобразование правой части: $-x^3 + 3x^2 + 6 = -x^3 + 3x^2 - 4 + 10 = -(x^3 - 3x^2 + 4) + 10$. Разложим многочлен $x^3 - 3x^2 + 4$ на множители. Легко проверить, что $x=-1$ является корнем: $(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$. Значит, многочлен делится на $(x+1)$. $(x^3 - 3x^2 + 4) : (x+1) = x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Таким образом, правая часть уравнения равна $-(x+1)(x-2)^2 + 10$.

Исходное уравнение принимает вид: $3\sqrt{x+1} = -(x+1)(x-2)^2 + 10$.

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt{x+1}$. Поскольку корень арифметический, $y \ge 0$. Из замены следует, что $x+1 = y^2$, а значит $x = y^2 - 1$. Тогда $x-2 = (y^2-1)-2 = y^2-3$. Подставим новую переменную в преобразованное уравнение: $3y = -y^2(y^2-3)^2 + 10$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $3y = -y^2(y^4 - 6y^2 + 9) + 10$ $3y = -y^6 + 6y^4 - 9y^2 + 10$ $y^6 - 6y^4 + 9y^2 + 3y - 10 = 0$.

Мы знаем, что $x=3$ является корнем, что соответствует $y=\sqrt{3+1}=2$. Проверим, является ли $y=2$ корнем полученного полиномиального уравнения: $2^6 - 6 \cdot 2^4 + 9 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2 - 10 = 64 - 6 \cdot 16 + 9 \cdot 4 + 6 - 10 = 64 - 96 + 36 + 6 - 10 = 106 - 106 = 0$. Да, $y=2$ является корнем. Разделим многочлен на $(y-2)$: $(y^6 - 6y^4 + 9y^2 + 3y - 10) : (y-2) = y^5 + 2y^4 - 2y^3 - 4y^2 + y + 5$. Уравнение принимает вид: $(y-2)(y^5 + 2y^4 - 2y^3 - 4y^2 + y + 5) = 0$.

Рассмотрим второй множитель $Q(y) = y^5 + 2y^4 - 2y^3 - 4y^2 + y + 5$. Преобразуем его: $Q(y) = y(y^4 - 2y^2 + 1) + 2y^4 - 4y^2 + 5 = y(y^2-1)^2 + 2(y^4-2y^2+1) + 3 = y(y^2-1)^2 + 2(y^2-1)^2 + 3 = (y+2)(y^2-1)^2 + 3$. Нам нужно решить уравнение $(y+2)(y^2-1)^2 + 3 = 0$. Вспомним, что $y \ge 0$. При этом условии: $y+2 > 0$ $(y^2-1)^2 \ge 0$ Значит, $(y+2)(y^2-1)^2 \ge 0$. Следовательно, $(y+2)(y^2-1)^2 + 3 \ge 3$. Выражение $(y+2)(y^2-1)^2 + 3$ всегда положительно и не может быть равно нулю.

Таким образом, единственным неотрицательным решением для $y$ является $y=2$. Вернемся к исходной переменной: $\sqrt{x+1} = 2$. Возведем обе части в квадрат: $x+1 = 4$, откуда $x=3$. Данное значение удовлетворяет ОДЗ ($3 \ge -1$).

Ответ: 3

б) $x^3 - 3x = (x+1)^6 + 2$

Рассмотрим левую и правую части уравнения как две функции: $f(x) = x^3 - 3x$ и $g(x) = (x+1)^6 + 2$.

Исследуем функцию $g(x) = (x+1)^6 + 2$. Поскольку $(x+1)^6 \ge 0$ для любого действительного $x$, минимальное значение этого слагаемого равно 0. Следовательно, $g(x) \ge 0+2=2$. Наименьшее значение, равное 2, функция $g(x)$ принимает при $x+1=0$, то есть при $x=-1$.

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x$. Найдем ее значение в точке $x=-1$: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.

Таким образом, при $x=-1$ левая часть уравнения равна 2, и правая часть уравнения равна 2. $f(-1)=2$ и $g(-1)=2$. Следовательно, $x=-1$ является корнем уравнения.

Докажем, что других корней нет. Для этого рассмотрим разность функций $h(x) = g(x) - f(x)$: $h(x) = (x+1)^6 + 2 - (x^3 - 3x) = (x+1)^6 - x^3 + 3x + 2$. Нам нужно решить уравнение $h(x)=0$. Мы уже знаем, что $h(-1)=0$. Исследуем функцию $h(x)$ на монотонность с помощью производной: $h'(x) = 6(x+1)^5 - (3x^2 - 3) = 6(x+1)^5 - 3(x^2 - 1) = 6(x+1)^5 - 3(x-1)(x+1)$. Вынесем общий множитель $3(x+1)$: $h'(x) = 3(x+1)[2(x+1)^4 - (x-1)]$.

Рассмотрим знак второго множителя $\phi(x) = 2(x+1)^4 - (x-1)$. Найдем его производную: $\phi'(x) = 8(x+1)^3 - 1$. Приравняем к нулю: $8(x+1)^3 - 1 = 0 \implies (x+1)^3 = 1/8 \implies x+1 = 1/2 \implies x = -1/2$. В точке $x=-1/2$ функция $\phi(x)$ имеет экстремум. Так как $\phi''(x) = 24(x+1)^2 > 0$ при $x \neq -1$, это точка минимума. Найдем минимальное значение $\phi(x)$: $\phi_{min} = \phi(-1/2) = 2(-1/2+1)^4 - (-1/2-1) = 2(1/2)^4 + 3/2 = 2/16 + 3/2 = 1/8 + 12/8 = 13/8$. Поскольку минимальное значение $\phi(x)$ положительно, $\phi(x) > 0$ для всех $x$.

Вернемся к $h'(x) = 3(x+1)\phi(x)$. Так как $\phi(x) > 0$, знак $h'(x)$ определяется знаком $(x+1)$.

• Если $x > -1$, то $h'(x) > 0$, и функция $h(x)$ строго возрастает.
• Если $x < -1$, то $h'(x) < 0$, и функция $h(x)$ строго убывает.

Это означает, что в точке $x=-1$ функция $h(x)$ достигает своего единственного глобального минимума.

Значение этого минимума равно $h(-1) = 0$. Следовательно, для любого $x \neq -1$ выполняется строгое неравенство $h(x) > h(-1)$, то есть $h(x) > 0$. Таким образом, уравнение $h(x)=0$ имеет единственный корень $x=-1$.

Ответ: -1