Номер 45.10, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.10. a) $y = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}};$

б) $y = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}.$

Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В данном случае, $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{1-x^2}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило):

$v'(x) = (\sqrt{1-x^2})' = ((1-x^2)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (1-x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу для производной частного:

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{1-x^2} - x \cdot (-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}})}{(\sqrt{1-x^2})^2} = \frac{\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2}$.

Упростим числитель, приведя слагаемые к общему знаменателю:

$\sqrt{1-x^2} + \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{(\sqrt{1-x^2})^2 + x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1-x^2+x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной:

$y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{(1-x^2)^{\frac{3}{2}}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}$.

Для нахождения производной функции $y = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ также воспользуемся правилом дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Здесь $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{x^2-1}$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для нахождения производной $v(x)$ используем цепное правило:

$v'(x) = (\sqrt{x^2-1})' = ((x^2-1)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(x^2-1)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x^2-1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2-1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$.

Подставим найденные производные в формулу:

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-1} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{(\sqrt{x^2-1})^2} = \frac{\sqrt{x^2-1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}$.

Упростим числитель, приведя слагаемые к общему знаменателю:

$\sqrt{x^2-1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{(\sqrt{x^2-1})^2 - x^2}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}$.

Подставим упрощенный числитель обратно в выражение для производной:

$y' = \frac{\frac{-1}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1} = \frac{-1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}} = -\frac{1}{(x^2-1)^{\frac{3}{2}}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}$.