Номер 45.4, страница 278, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

45.4. а) $y = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$

б) $y = \frac{x - 2}{x^2 + 5}$

а)

Чтобы найти область значений функции $y = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$, рассмотрим это выражение как уравнение относительно $x$ для заданного значения $y$.

$y = \frac{2x + 1}{x^2 + 2}$

Домножим обе части на знаменатель, который всегда положителен ($x^2 + 2 > 0$):

$y(x^2 + 2) = 2x + 1$

$yx^2 + 2y = 2x + 1$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$yx^2 - 2x + (2y - 1) = 0$

Это уравнение должно иметь действительные решения для $x$, чтобы значение $y$ принадлежало области значений функции.

1. Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $y = 0$, уравнение становится линейным: $-2x + (2 \cdot 0 - 1) = 0 \Rightarrow -2x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1/2$. Решение существует, значит $y = 0$ входит в область значений.

2. Если $y \neq 0$, уравнение является квадратным. Оно имеет действительные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ неотрицателен ($D \ge 0$).

$D = (-2)^2 - 4 \cdot y \cdot (2y - 1) = 4 - 8y^2 + 4y$

Решим неравенство $D \ge 0$:

$4 - 8y^2 + 4y \ge 0$

Разделим все члены на $-4$ и изменим знак неравенства:

$2y^2 - y - 1 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2y^2 - y - 1 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$

$y_1 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{1 + 3}{4} = 1$

Парабола $f(y) = 2y^2 - y - 1$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $2y^2 - y - 1 \le 0$ выполняется для значений $y$ между корнями, включая сами корни.

Таким образом, область допустимых значений для $y$ — это отрезок $[-\frac{1}{2}, 1]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{2}; 1]$.

б)

Найдем область значений функции $y = \frac{x - 2}{x^2 + 5}$ аналогичным способом. Выразим $x$ через $y$.

$y(x^2 + 5) = x - 2$

$yx^2 + 5y = x - 2$

$yx^2 - x + (5y + 2) = 0$

Это уравнение относительно $x$. Поскольку знаменатель $x^2 + 5$ никогда не равен нулю, функция определена для всех $x$. Уравнение должно иметь действительные решения для $x$.

1. При $y = 0$ уравнение становится линейным: $-x + 2 = 0$, откуда $x = 2$. Решение есть, $y = 0$ входит в область значений.

2. При $y \neq 0$ уравнение является квадратным. Оно имеет действительные корни при условии, что дискриминант $D \ge 0$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot y \cdot (5y + 2) = 1 - 20y^2 - 8y$

Решим неравенство $1 - 20y^2 - 8y \ge 0$. Умножим на $-1$ и сменим знак:

$20y^2 + 8y - 1 \le 0$

Найдем корни уравнения $20y^2 + 8y - 1 = 0$:

$y_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-1)}}{2 \cdot 20} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 80}}{40} = \frac{-8 \pm \sqrt{144}}{40} = \frac{-8 \pm 12}{40}$

$y_1 = \frac{-8 - 12}{40} = \frac{-20}{40} = -\frac{1}{2}$

$y_2 = \frac{-8 + 12}{40} = \frac{4}{40} = \frac{1}{10}$

Ветви параболы $f(y) = 20y^2 + 8y - 1$ направлены вверх, следовательно, неравенство $20y^2 + 8y - 1 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Таким образом, область значений функции — это отрезок $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{10}]$.

Ответ: $E(y) = [-\frac{1}{2}; \frac{1}{10}]$.