Номер 44.73, страница 277, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.73. a) $\arccos\sqrt{1-x^2} = \begin{cases} \arcsin x, & 0 \le x \le 1, \\ -\arcsin x, & -1 \le x < 0; \end{cases}$

б) $\operatorname{arctg}x + \operatorname{arctg}\frac{1-x}{1+x} = \begin{cases} \frac{\pi}{4}, & x > -1, \\ -\frac{3\pi}{4}, & x < -1. \end{cases}$

а) Для доказательства данного тождества определим сначала область допустимых значений. Выражение под корнем $1-x^2$ должно быть неотрицательным, то есть $1-x^2 \ge 0$, что эквивалентно $x^2 \le 1$, или $-1 \le x \le 1$. Это и есть область определения левой части.

Сделаем замену. Пусть $\alpha = \arcsin x$. Тогда по определению арксинуса $x = \sin\alpha$ и $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Подставим $x = \sin\alpha$ в левую часть исходного равенства:

$ \arccos{\sqrt{1-x^2}} = \arccos{\sqrt{1-\sin^2\alpha}} = \arccos{\sqrt{\cos^2\alpha}} = \arccos{|\cos\alpha|} $

Поскольку $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, на этом промежутке $\cos\alpha \ge 0$. Следовательно, $|\cos\alpha| = \cos\alpha$.

Тогда выражение упрощается до $\arccos(\cos\alpha)$.

Теперь нужно учесть, что тождество $\arccos(\cos\alpha) = \alpha$ верно только для $\alpha \in [0, \pi]$. Рассмотрим два случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $0 \le x \le 1$, то $\alpha = \arcsin x$ находится в промежутке $[0, \frac{\pi}{2}]$. Этот промежуток является частью отрезка $[0, \pi]$, поэтому $\arccos(\cos\alpha) = \alpha$. Таким образом, при $0 \le x \le 1$ имеем $\arccos{\sqrt{1-x^2}} = \alpha = \arcsin x$.

2. Если $-1 \le x < 0$, то $\alpha = \arcsin x$ находится в промежутке $[-\frac{\pi}{2}, 0)$. Этот промежуток не входит в $[0, \pi]$. Однако, функция косинус является четной, т.е. $\cos\alpha = \cos(-\alpha)$. Пусть $\beta = -\alpha$. Если $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, 0)$, то $\beta \in (0, \frac{\pi}{2}]$. Этот промежуток уже входит в отрезок $[0, \pi]$.
Следовательно, $\arccos(\cos\alpha) = \arccos(\cos\beta) = \beta = -\alpha = -\arcsin x$.

Объединив оба случая, мы доказали исходное тождество.

Ответ: $ \arccos{\sqrt{1 - x^2}} = \begin{cases} \arcsin x, & 0 \le x \le 1, \\ -\arcsin x, & -1 \le x < 0; \end{cases} $

б) Докажем данное тождество. Заметим, что левая часть не определена при $x = -1$.

Воспользуемся формулой для суммы арктангенсов:

$ \operatorname{arctg}{a} + \operatorname{arctg}{b} = \operatorname{arctg}{\frac{a+b}{1-ab}} + \pi k $, где $k \in \{-1, 0, 1\}$.

В нашем случае $a = x$ и $b = \frac{1-x}{1+x}$. Найдем значение дроби в формуле:

$ \frac{a+b}{1-ab} = \frac{x + \frac{1-x}{1+x}}{1 - x \frac{1-x}{1+x}} = \frac{\frac{x(1+x) + (1-x)}{1+x}}{\frac{1(1+x) - x(1-x)}{1+x}} = \frac{x+x^2+1-x}{1+x-x+x^2} = \frac{x^2+1}{x^2+1} = 1 $.

Таким образом, сумма равна $ \operatorname{arctg}(1) + \pi k = \frac{\pi}{4} + \pi k $.

Значение $k$ зависит от знака произведения $ab$ и знаков $a$ и $b$.

$ ab = x \cdot \frac{1-x}{1+x} $. Рассмотрим знак выражения $ab-1$:

$ ab - 1 = \frac{x(1-x)}{1+x} - 1 = \frac{x-x^2 - (1+x)}{1+x} = \frac{-x^2-1}{1+x} = -\frac{x^2+1}{1+x} $.

Знак этого выражения противоположен знаку знаменателя $1+x$.

1. Если $x > -1$, то $1+x > 0$. В этом случае $ab - 1 < 0$, то есть $ab < 1$. По формуле суммы арктангенсов, если $ab < 1$, то $k=0$.Следовательно, при $x > -1$ сумма равна $\frac{\pi}{4}$.

2. Если $x < -1$, то $1+x < 0$. В этом случае $ab - 1 > 0$, то есть $ab > 1$.Для определения $k$ рассмотрим знаки $a$ и $b$.
$ a = x < -1 $, значит $a < 0$.
$ b = \frac{1-x}{1+x} $. Так как $x < -1$, числитель $1-x$ положителен, а знаменатель $1+x$ отрицателен, следовательно $b < 0$.
По формуле суммы арктангенсов, если $ab > 1$, $a < 0$ и $b < 0$, то $k=-1$.Следовательно, при $x < -1$ сумма равна $\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, тождество доказано для обоих интервалов.

Ответ: $ \operatorname{arctg}{x} + \operatorname{arctg}{\frac{1-x}{1+x}} = \begin{cases} \frac{\pi}{4}, & x > -1, \\ -\frac{3\pi}{4}, & x < -1. \end{cases} $