Номер 44.74, страница 277, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.74. Докажите, что функция $y = f(x)$ постоянна на указанном промежутке, и найдите значение этой постоянной:

a) $f(x) = 2 \operatorname{arctg} x + \arcsin \frac{2x}{1+x^2}$ при $x \ge 1$;

б) $f(x) = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \operatorname{arctg} x$ при $x < 0$.

а) Для того чтобы доказать, что функция $f(x) = 2 \arctan x + \arcsin \frac{2x}{1+x^2}$ является постоянной на промежутке $x \ge 1$, мы можем либо найти её производную, либо использовать тригонометрическую подстановку. Второй способ более нагляден.

Сделаем замену $x = \tan \theta$. Поскольку по условию $x \ge 1$, мы можем выбрать угол $\theta$ из промежутка $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$. Для таких $\theta$ справедливо равенство $\theta = \arctan x$.

Подставим замену в исходную функцию:

$f(x) = 2 \arctan(\tan \theta) + \arcsin \left( \frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta} \right)$

Упростим каждое слагаемое. Поскольку $\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$, то $2 \arctan(\tan \theta) = 2\theta$.

Аргумент арксинуса можно упростить, используя известное тригонометрическое тождество $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ и формулу синуса двойного угла:

$\frac{2 \tan \theta}{1+\tan^2 \theta} = \frac{2 \frac{\sin \theta}{\cos \theta}}{\frac{1}{\cos^2 \theta}} = 2 \sin \theta \cos \theta = \sin(2\theta)$

Таким образом, функция принимает вид:

$f(x) = 2\theta + \arcsin(\sin(2\theta))$

Теперь нужно раскрыть $\arcsin(\sin(2\theta))$. Из условия $\theta \in [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2})$ следует, что $2\theta \in [\frac{\pi}{2}, \pi)$. На этом промежутке для функции арксинус справедливо тождество $\arcsin(\sin \alpha) = \pi - \alpha$.

Применяя это тождество, получаем:

$\arcsin(\sin(2\theta)) = \pi - 2\theta$

Подставляем полученное выражение обратно в формулу для $f(x)$:

$f(x) = 2\theta + (\pi - 2\theta) = \pi$

Мы получили, что значение функции не зависит от $x$ и всегда равно $\pi$ при $x \ge 1$. Это доказывает, что функция постоянна на данном промежутке, и значение этой постоянной равно $\pi$.
Ответ: $\pi$.

б) Для функции $f(x) = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \arctan x$ при $x < 0$ также применим метод тригонометрической подстановки.

Сделаем замену $x = \tan \theta$. Поскольку по условию $x < 0$, мы можем выбрать угол $\theta$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, 0)$. Для таких $\theta$ справедливо равенство $\theta = \arctan x$.

Подставим замену в исходную функцию:

$f(x) = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} \right) + \arctan(\tan \theta)$

Упростим каждое слагаемое. Поскольку $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$, то $\arctan(\tan \theta) = \theta$.

Аргумент арккосинуса упрощается с помощью тождества $1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta$. Так как $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$, то $\cos \theta > 0$, а значит и $\sec \theta > 0$. Следовательно, $\sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sec \theta$.

$\frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sec \theta} = \cos \theta$

Таким образом, функция принимает вид:

$f(x) = \arccos(\cos \theta) + \theta$

Теперь нужно раскрыть $\arccos(\cos \theta)$. Область значений арккосинуса — это промежуток $[0, \pi]$. Наш угол $\theta$ принадлежит промежутку $(-\frac{\pi}{2}, 0)$, который не входит в область значений арккосинуса. Однако, косинус — чётная функция, поэтому $\cos(\theta) = \cos(-\theta)$. Поскольку $\theta \in (-\frac{\pi}{2}, 0)$, то $-\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$, а этот промежуток уже входит в область значений арккосинуса. Поэтому:

$\arccos(\cos \theta) = \arccos(\cos(-\theta)) = -\theta$

Подставляем полученное выражение обратно в формулу для $f(x)$:

$f(x) = -\theta + \theta = 0$

Мы получили, что значение функции не зависит от $x$ и всегда равно $0$ при $x < 0$. Это доказывает, что функция постоянна на данном промежутке, и значение этой постоянной равно $0$.
Ответ: $0$.