Номер 44.76, страница 277, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.76. a) $ \arcsin x > x $, если $ 0 < x < 1 $;

б) $ \operatorname{arctg} x > x - \frac{x^3}{3} $, если $ x > 0 $.

а) Для доказательства неравенства $ \arcsin x > x $ при $ 0 < x < 1 $, рассмотрим вспомогательную функцию $ f(x) = \arcsin x - x $. Наша задача — показать, что $ f(x) > 0 $ на интервале $ (0, 1) $.

Для этого исследуем функцию на монотонность с помощью производной. Найдем производную функции $ f(x) $:

$ f'(x) = (\arcsin x - x)' = (\arcsin x)' - (x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1 $.

Определим знак производной на интервале $ (0, 1) $. Если $ 0 < x < 1 $, то $ 0 < x^2 < 1 $.
Следовательно, $ 0 < 1 - x^2 < 1 $, и $ 0 < \sqrt{1-x^2} < 1 $.
Так как знаменатель $ \sqrt{1-x^2} $ является положительным числом, меньшим единицы, его обратная величина будет больше единицы: $ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} > 1 $.
Таким образом, $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - 1 > 0 $ для всех $ x \in (0, 1) $.

Поскольку производная $ f'(x) $ положительна на интервале $ (0, 1) $, функция $ f(x) $ строго возрастает на этом интервале.
Найдем значение функции в начальной точке $ x=0 $:
$ f(0) = \arcsin 0 - 0 = 0 $.

Так как функция $ f(x) $ непрерывна на $ [0, 1) $ и строго возрастает на $ (0, 1) $, то для любого $ x $ из интервала $ (0, 1) $ будет выполняться неравенство $ f(x) > f(0) $.
$ f(x) > 0 $
$ \arcsin x - x > 0 $
$ \arcsin x > x $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

б) Для доказательства неравенства $ \arctg x > x - \frac{x^3}{3} $ при $ x > 0 $, рассмотрим вспомогательную функцию $ g(x) = \arctg x - x + \frac{x^3}{3} $. Наша задача — показать, что $ g(x) > 0 $ при $ x > 0 $.

Исследуем функцию $ g(x) $ на монотонность с помощью производной. Найдем производную:

$ g'(x) = (\arctg x - x + \frac{x^3}{3})' = (\arctg x)' - (x)' + (\frac{x^3}{3})' = \frac{1}{1+x^2} - 1 + x^2 $.

Приведем выражение для производной к общему знаменателю, чтобы определить ее знак:
$ g'(x) = \frac{1 - (1+x^2) + x^2(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{1 - 1 - x^2 + x^2 + x^4}{1+x^2} = \frac{x^4}{1+x^2} $.

Определим знак производной при $ x > 0 $.
Числитель $ x^4 $ положителен, так как $ x > 0 $.
Знаменатель $ 1+x^2 $ также всегда положителен (больше 1).
Следовательно, $ g'(x) = \frac{x^4}{1+x^2} > 0 $ для всех $ x > 0 $.

Поскольку производная $ g'(x) $ положительна при $ x > 0 $, функция $ g(x) $ строго возрастает на интервале $ (0, \infty) $.
Найдем значение функции в начальной точке $ x=0 $:
$ g(0) = \arctg 0 - 0 + \frac{0^3}{3} = 0 $.

Так как функция $ g(x) $ непрерывна при $ x \ge 0 $ и строго возрастает при $ x > 0 $, то для любого $ x > 0 $ будет выполняться неравенство $ g(x) > g(0) $.
$ g(x) > 0 $
$ \arctg x - x + \frac{x^3}{3} > 0 $
$ \arctg x > x - \frac{x^3}{3} $

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.