Номер 44.75, страница 277, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Докажите неравенство:

44.75. а) $x^2 - x^3 < \frac{1}{6}$, если $x > \frac{2}{3}$;

б) $2\sqrt{x} \ge 3 - \frac{1}{x}$, если $x > 0$.

а)

Для доказательства неравенства $x^2 - x^3 < \frac{1}{6}$ при $x > \frac{2}{3}$ рассмотрим функцию $f(x) = x^2 - x^3$. Наша задача — показать, что на промежутке $(\frac{2}{3}, +\infty)$ значения функции $f(x)$ меньше $\frac{1}{6}$.

Для анализа поведения функции найдем ее производную:
$f'(x) = (x^2 - x^3)' = 2x - 3x^2$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$2x - 3x^2 = 0$, что равносильно $x(2 - 3x) = 0$.
Отсюда получаем две критические точки: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{2}{3}$.

Определим знак производной $f'(x)$ на интересующем нас промежутке $x > \frac{2}{3}$. Возьмем любое значение из этого промежутка, например, $x=1$.
$f'(1) = 2(1) - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1 < 0$.
Так как производная $f'(x)$ является квадратичной функцией с отрицательным старшим коэффициентом и корнями $0$ и $\frac{2}{3}$, она отрицательна при $x > \frac{2}{3}$. Следовательно, функция $f(x)$ на этом промежутке строго убывает.

Поскольку функция убывает при $x > \frac{2}{3}$, ее значение в любой точке этого промежутка будет строго меньше, чем ее значение в точке $x = \frac{2}{3}$. То есть, для любого $x > \frac{2}{3}$ выполняется неравенство $f(x) < f(\frac{2}{3})$.

Вычислим значение функции в точке $x = \frac{2}{3}$:
$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^2 - (\frac{2}{3})^3 = \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{12}{27} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$.
Таким образом, для $x > \frac{2}{3}$ мы имеем $x^2 - x^3 < \frac{4}{27}$.

Теперь сравним полученное значение $\frac{4}{27}$ с числом $\frac{1}{6}$ из условия.
Для сравнения дробей $\frac{4}{27}$ и $\frac{1}{6}$ можно перемножить крест-накрест: $4 \cdot 6 = 24$ и $27 \cdot 1 = 27$.
Так как $24 < 27$, то $\frac{4}{27} < \frac{1}{6}$.

Мы доказали, что при $x > \frac{2}{3}$ выполняется $x^2 - x^3 < \frac{4}{27}$, и так как $\frac{4}{27} < \frac{1}{6}$, то по свойству транзитивности неравенств $x^2 - x^3 < \frac{1}{6}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.

б)

Требуется доказать неравенство $2\sqrt{x} \ge 3 - \frac{1}{x}$ для всех $x > 0$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить эквивалентное неравенство: $2\sqrt{x} - 3 + \frac{1}{x} \ge 0$.

Рассмотрим функцию $g(x) = 2\sqrt{x} - 3 + \frac{1}{x}$. Нам нужно доказать, что $g(x) \ge 0$ при $x > 0$. Для этого найдем наименьшее значение функции на промежутке $(0, +\infty)$.

Найдем производную функции $g(x)$. Для удобства представим $g(x)$ как $2x^{1/2} - 3 + x^{-1}$:
$g'(x) = (2x^{1/2} - 3 + x^{-1})' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} - x^{-2} = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = 0$.
Приводя к общему знаменателю $x$, получаем $\frac{\sqrt{x} - 1}{x} = 0$.
Так как $x>0$, то знаменатель не равен нулю, значит $\sqrt{x} - 1 = 0$, откуда $\sqrt{x} = 1$ и $x=1$.

Исследуем знак производной $g'(x) = \frac{\sqrt{x}-1}{x}$. Поскольку знаменатель $x$ положителен при $x > 0$, знак производной совпадает со знаком числителя $(\sqrt{x}-1)$.
- Если $0 < x < 1$, то $\sqrt{x} < 1$, и $g'(x) < 0$. Следовательно, функция $g(x)$ убывает на интервале $(0, 1)$.
- Если $x > 1$, то $\sqrt{x} > 1$, и $g'(x) > 0$. Следовательно, функция $g(x)$ возрастает на интервале $(1, +\infty)$.

Таким образом, в точке $x=1$ функция $g(x)$ переходит от убывания к возрастанию, а значит, в этой точке достигается ее минимум.

Найдем значение функции в точке минимума:
$g(1) = 2\sqrt{1} - 3 + \frac{1}{1} = 2 - 3 + 1 = 0$.

Поскольку наименьшее значение функции $g(x)$ на промежутке $(0, +\infty)$ равно 0, то для любого $x > 0$ выполняется неравенство $g(x) \ge 0$. Это означает, что $2\sqrt{x} - 3 + \frac{1}{x} \ge 0$, или $2\sqrt{x} \ge 3 - \frac{1}{x}$, что и требовалось доказать.

Ответ: Неравенство доказано.