Номер 44.69, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Решите уравнение:

44.69. а) $x^3 + 5 = 15 - x;$

б) $x^5 + 3x^3 + 7x - 11 = 0;$

в) $2x^5 + 3x^3 = 17 - 12x;$

г) $x^5 + 4x^3 + 8x - 13 = 0.$

а) $x^3 + 5 = 15 - x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить уравнение вида $f(x) = 0$:

$x^3 + x + 5 - 15 = 0$

$x^3 + x - 10 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + x - 10$. Для нахождения корней этого многочлена можно воспользоваться методом подбора, проверяя целые делители свободного члена (-10). Возможные целые корни: $±1, ±2, ±5, ±10$.

Проверим значение $x=2$:

$f(2) = 2^3 + 2 - 10 = 8 + 2 - 10 = 0$.

Так как получилось верное равенство, $x=2$ является корнем уравнения.

Чтобы определить, есть ли у уравнения другие действительные корни, исследуем функцию $f(x)$ на монотонность с помощью производной.

$f'(x) = (x^3 + x - 10)' = 3x^2 + 1$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $3x^2 \ge 0$, а значит $f'(x) = 3x^2 + 1 \ge 1 > 0$.

Так как производная функции $f(x)$ всегда положительна, функция является строго возрастающей на всей числовой прямой. Строго монотонная функция может пересекать ось абсцисс (т.е. обращаться в ноль) не более одного раза. Следовательно, найденный корень $x=2$ является единственным.

Ответ: $2$

б) $x^5 + 3x^3 + 7x - 11 = 0$

Это уравнение вида $f(x)=0$, где $f(x) = x^5 + 3x^3 + 7x - 11$.

Попробуем найти целые корни подбором среди делителей свободного члена (-11): $±1, ±11$.

Проверим $x=1$:

$f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 7 \cdot 1 - 11 = 1 + 3 + 7 - 11 = 0$.

Значит, $x=1$ — корень уравнения.

Чтобы доказать, что других действительных корней нет, исследуем функцию на монотонность. Найдем ее производную:

$f'(x) = (x^5 + 3x^3 + 7x - 11)' = 5x^4 + 9x^2 + 7$.

Выражение для производной состоит из слагаемых с четными степенями $x$ и положительной константы. Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$ для любых $x$, то $f'(x) = 5x^4 + 9x^2 + 7 > 0$.

Поскольку производная функции всегда положительна, функция $f(x)$ строго возрастает. Следовательно, уравнение имеет только один действительный корень.

Ответ: $1$

в) $2x^5 + 3x^3 = 17 - 12x$

Сначала приведем уравнение к стандартному виду $f(x)=0$, перенеся все члены в левую часть:

$2x^5 + 3x^3 + 12x - 17 = 0$.

Пусть $f(x) = 2x^5 + 3x^3 + 12x - 17$. Попробуем найти корень подбором. Согласно теореме о рациональных корнях, возможные рациональные корни $p/q$ должны удовлетворять условию: $p$ — делитель свободного члена (-17), а $q$ — делитель старшего коэффициента (2).

Проверим простейший возможный целый корень $x=1$:

$f(1) = 2 \cdot 1^5 + 3 \cdot 1^3 + 12 \cdot 1 - 17 = 2 + 3 + 12 - 17 = 0$.

Следовательно, $x=1$ является корнем.

Докажем, что этот корень единственный. Для этого найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^5 + 3x^3 + 12x - 17)' = 10x^4 + 9x^2 + 12$.

Так как $x^4 \ge 0$ и $x^2 \ge 0$, то $f'(x) = 10x^4 + 9x^2 + 12 > 0$ для всех действительных $x$.

Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на всей числовой оси и, следовательно, может иметь не более одного корня.

Ответ: $1$

г) $x^5 + 4x^3 + 8x - 13 = 0$

Рассмотрим функцию $f(x) = x^5 + 4x^3 + 8x - 13$.

Попробуем найти целые корни среди делителей свободного члена (-13): $±1, ±13$.

Проверим $x=1$:

$f(1) = 1^5 + 4 \cdot 1^3 + 8 \cdot 1 - 13 = 1 + 4 + 8 - 13 = 0$.

Таким образом, $x=1$ — корень уравнения.

Чтобы доказать, что это единственный действительный корень, исследуем функцию на монотонность с помощью производной:

$f'(x) = (x^5 + 4x^3 + 8x - 13)' = 5x^4 + 12x^2 + 8$.

Все слагаемые в производной неотрицательны, а константа положительна: $5x^4 \ge 0$, $12x^2 \ge 0$. Значит, $f'(x) = 5x^4 + 12x^2 + 8 > 0$ для всех $x$.

Поскольку производная всегда положительна, функция $f(x)$ является строго возрастающей. Это означает, что она пересекает ось $Ox$ только в одной точке.

Ответ: $1$