Номер 44.70, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.70. a) $ \sin 5x - 2 \cos x - 8x = x^5 - 2; $

б) $ 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} + 15x = 4 - x^3. $

а) Перепишем уравнение $ \sin 5x - 2 \cos x - 8x = x^5 - 2 $ в виде равенства двух функций, сгруппировав слагаемые:

$ \sin 5x - 2 \cos x + 2 = x^5 + 8x $

Рассмотрим две функции: $ f(x) = \sin 5x - 2 \cos x + 2 $ (левая часть) и $ g(x) = x^5 + 8x $ (правая часть). Нам нужно найти значения $x$, при которых $ f(x) = g(x) $.

Легко заметить, что $x=0$ является корнем уравнения. Подставим $x=0$ в обе части:

Левая часть: $ f(0) = \sin(0) - 2 \cos(0) + 2 = 0 - 2 \cdot 1 + 2 = 0 $.

Правая часть: $ g(0) = 0^5 + 8 \cdot 0 = 0 $.

Поскольку $ f(0) = g(0) $, $x=0$ — корень уравнения.

Докажем, что других корней нет. Для этого введем вспомогательную функцию $ h(x) = g(x) - f(x) $.

$ h(x) = x^5 + 8x - (\sin 5x - 2 \cos x + 2) = x^5 + 8x - \sin 5x + 2 \cos x - 2 $

Мы ищем корни уравнения $ h(x) = 0 $. Мы уже знаем, что $ h(0) = 0 $. Исследуем функцию $h(x)$ на монотонность с помощью ее производной:

$ h'(x) = (x^5 + 8x - \sin 5x + 2 \cos x - 2)' = 5x^4 + 8 - 5 \cos(5x) - 2 \sin(x) $

Оценим значение производной. Так как $ -1 \le \cos(5x) \le 1 $ и $ -1 \le \sin(x) \le 1 $, то наименьшее возможное значение для слагаемых $ -5 \cos(5x) $ и $ -2 \sin(x) $ равно $ -5 $ и $ -2 $ соответственно. Тогда:

$ h'(x) = 5x^4 + 8 - 5 \cos(5x) - 2 \sin(x) \ge 5x^4 + 8 - 5 - 2 = 5x^4 + 1 $.

Поскольку $ x^4 \ge 0 $ для любого $x$, то $ 5x^4 \ge 0 $, и, следовательно, $ h'(x) \ge 5x^4 + 1 \ge 1 $. Так как $ h'(x) > 0 $ для всех $x$, функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Строго монотонная функция может принимать любое свое значение только один раз. Поскольку $ h(0) = 0 $, других корней у уравнения $ h(x) = 0 $ нет.

Ответ: $x=0$.

б) Рассмотрим уравнение $ 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} + 15x = 4 - x^3 $. Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение вида $ f(x) = 0 $:

$ x^3 + 15x + 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} - 4 = 0 $

Обозначим левую часть как функцию $ f(x) = x^3 + 15x + 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} - 4 $.

Найдем корень подбором. Проверим значение $x=0$:

$ f(0) = 0^3 + 15 \cdot 0 + 4 \cos(0) + 5 \sin(0) - 4 = 0 + 0 + 4 \cdot 1 + 5 \cdot 0 - 4 = 4 - 4 = 0 $.

Следовательно, $x=0$ является корнем данного уравнения.

Докажем, что этот корень единственный. Для этого исследуем функцию $f(x)$ на монотонность, найдя ее производную:

$ f'(x) = (x^3 + 15x + 4 \cos 3x + 5 \sin \frac{x}{2} - 4)' $

$ f'(x) = 3x^2 + 15 - 4 \sin(3x) \cdot 3 + 5 \cos(\frac{x}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 3x^2 + 15 - 12 \sin(3x) + \frac{5}{2} \cos(\frac{x}{2}) $

Оценим знак производной. Известно, что $ 3x^2 \ge 0 $, $ -1 \le \sin(3x) \le 1 $ и $ -1 \le \cos(\frac{x}{2}) \le 1 $. Тогда:

$ -12 \le -12 \sin(3x) \le 12 $

$ -\frac{5}{2} \le \frac{5}{2} \cos(\frac{x}{2}) \le \frac{5}{2} $

Найдем наименьшее возможное значение для $ f'(x) $:

$ f'(x) = 3x^2 + 15 - 12 \sin(3x) + 2.5 \cos(\frac{x}{2}) \ge 3x^2 + 15 - 12 - 2.5 = 3x^2 + 0.5 $.

Поскольку $ 3x^2 \ge 0 $, то $ 3x^2 + 0.5 \ge 0.5 $. Таким образом, $ f'(x) > 0 $ для всех действительных $x$. Это означает, что функция $f(x)$ является строго возрастающей. Строго возрастающая функция пересекает ось $x$ не более чем в одной точке. Так как мы нашли корень $x=0$, он является единственным.

Ответ: $x=0$.