Номер 44.65, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.65. a) $y = x^3 - 3x^2 + 2$;

б) $y = -x^3 + 4x - 3$;

В) $y = -x^3 + 4x^2 - 3$;

Г) $y = x^3 - 3x + 2$.

а) $y = x^3 - 3x^2 + 2$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа: $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью OY (при $x=0$): $y(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.

   • С осью OX (при $y=0$): $x^3 - 3x^2 + 2 = 0$. Подбором находим корень $x=1$, так как $1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0$. Выполним деление многочлена на $(x-1)$ и получим $x^2 - 2x - 2$. Корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 2 = 0$ находятся по формуле: $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(-2)}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$. Таким образом, точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$, $(1-\sqrt{3}, 0)$, $(1+\sqrt{3}, 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 2 = -x^3 - 3x^2 + 2$. Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

4. Промежутки монотонности и экстремумы. Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x^2 + 2)' = 3x^2 - 6x$.

   Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 3x(x-2)=0$. Отсюда $x_1=0$, $x_2=2$.

   Исследуем знак производной на интервалах, образованных критическими точками:

   • На $(-\infty, 0)$: $y'(-1) = 9 > 0$, функция возрастает.
   • На $(0, 2)$: $y'(1) = -3 < 0$, функция убывает.
   • На $(2, +\infty)$: $y'(3) = 9 > 0$, функция возрастает.

   В точке $x=0$ происходит смена знака производной с `+` на `-`, следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = y(0) = 2$.

   В точке $x=2$ происходит смена знака производной с `-` на `+`, следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = y(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = -2$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6$.

   Найдем точки, в которых $y''=0$: $6x-6=0 \Rightarrow x=1$.

   Исследуем знак второй производной:

   • На $(-\infty, 1)$: $y''(0) = -6 < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).
   • На $(1, +\infty)$: $y''(2) = 6 > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

   В точке $x=1$ вторая производная меняет знак, значит, это точка перегиба. $y(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 0$. Точка перегиба — $(1, 0)$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(2, +\infty)$, убывает на интервале $(0, 2)$. Точка локального максимума $(0, 2)$, точка локального минимума $(2, -2)$. График функции является выпуклым вверх на $(-\infty, 1)$ и выпуклым вниз на $(1, +\infty)$. Точка перегиба — $(1, 0)$.

б) $y = -x^3 + 4x - 3$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью OY (при $x=0$): $y(0) = -3$. Точка $(0, -3)$.

   • С осью OX (при $y=0$): $-x^3 + 4x - 3 = 0 \Leftrightarrow x^3 - 4x + 3 = 0$. Подбором находим корень $x=1$. Делением многочлена на $(x-1)$ получаем $x^2+x-3=0$. Корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(-3)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$. Точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$, $(\frac{-1-\sqrt{13}}{2}, 0)$, $(\frac{-1+\sqrt{13}}{2}, 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^3 + 4(-x) - 3 = x^3 - 4x - 3$. Функция общего вида.

4. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = -3x^2 + 4$.

   Критические точки: $-3x^2+4=0 \Rightarrow x^2 = 4/3 \Rightarrow x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} = \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$.

   Исследуем знак производной (парабола с ветвями вниз):

   • На $(-\infty, -2\sqrt{3}/3)$: $y' < 0$, функция убывает.
   • На $(-2\sqrt{3}/3, 2\sqrt{3}/3)$: $y' > 0$, функция возрастает.
   • На $(2\sqrt{3}/3, +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.

   Точка $x = -2\sqrt{3}/3$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(-\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -3 - \frac{16\sqrt{3}}{9}$.

   Точка $x = 2\sqrt{3}/3$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(\frac{2\sqrt{3}}{3}) = -3 + \frac{16\sqrt{3}}{9}$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = -6x$.

   $y''=0$ при $x=0$.

   • На $(-\infty, 0)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
   • На $(0, +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

   Точка $x=0$ — точка перегиба. $y(0)=-3$. Точка перегиба — $(0, -3)$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, -2\sqrt{3}/3) \cup (2\sqrt{3}/3, +\infty)$, возрастает на $(-2\sqrt{3}/3, 2\sqrt{3}/3)$. Точка локального минимума $(-2\sqrt{3}/3, -3 - \frac{16\sqrt{3}}{9})$, точка локального максимума $(2\sqrt{3}/3, -3 + \frac{16\sqrt{3}}{9})$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вверх на $(0, +\infty)$. Точка перегиба $(0, -3)$.

в) $y = -x^3 + 4x^2 - 3$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью OY (при $x=0$): $y(0) = -3$. Точка $(0, -3)$.

   • С осью OX (при $y=0$): $-x^3 + 4x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^3 - 4x^2 + 3 = 0$. Корень $x=1$. Делением на $(x-1)$ получаем $x^2-3x-3=0$. Корни: $x = \frac{3 \pm \sqrt{9-4(-3)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$. Точки пересечения с осью OX: $(1, 0)$, $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, 0)$, $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, 0)$.

3. Четность и нечетность. $y(-x) = -(-x)^3 + 4(-x)^2 - 3 = x^3 + 4x^2 - 3$. Функция общего вида.

4. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = -3x^2 + 8x = -x(3x-8)$.

   Критические точки: $x_1=0$, $x_2=8/3$.

   Исследуем знак производной:

   • На $(-\infty, 0)$: $y' < 0$, функция убывает.
   • На $(0, 8/3)$: $y' > 0$, функция возрастает.
   • На $(8/3, +\infty)$: $y' < 0$, функция убывает.

   Точка $x=0$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(0) = -3$.

   Точка $x=8/3$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(8/3) = -(8/3)^3 + 4(8/3)^2 - 3 = 175/27$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = -6x + 8$.

   $y''=0$ при $x=8/6=4/3$.

   • На $(-\infty, 4/3)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.
   • На $(4/3, +\infty)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.

   Точка $x=4/3$ — точка перегиба. $y(4/3) = 47/27$. Точка перегиба — $(4/3, 47/27)$.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0) \cup (8/3, +\infty)$, возрастает на $(0, 8/3)$. Точка локального минимума $(0, -3)$, точка локального максимума $(8/3, 175/27)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 4/3)$ и выпуклый вверх на $(4/3, +\infty)$. Точка перегиба $(4/3, 47/27)$.

г) $y = x^3 - 3x + 2$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

2. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью OY (при $x=0$): $y(0) = 2$. Точка $(0, 2)$.
   • С осью OX (при $y=0$): $x^3 - 3x + 2 = 0$. Подбором находим корень $x=1$. Делением на $(x-1)$ получаем $x^2+x-2=0$, что раскладывается на $(x-1)(x+2)$. Таким образом, уравнение имеет вид $(x-1)^2(x+2)=0$. Корни: $x=1$ (кратности 2) и $x=-2$. Точки пересечения с осью OX: $(-2, 0)$ и $(1, 0)$ (касание).

3. Четность и нечетность. $y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) + 2 = -x^3 + 3x + 2$. Функция общего вида.

4. Промежутки монотонности и экстремумы. $y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1)$.

   Критические точки: $x^2-1=0 \Rightarrow x = \pm 1$.

   Исследуем знак производной:

   • На $(-\infty, -1)$: $y' > 0$, функция возрастает.
   • На $(-1, 1)$: $y' < 0$, функция убывает.
   • На $(1, +\infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.

   Точка $x=-1$ — точка локального максимума. $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = 4$.

   Точка $x=1$ — точка локального минимума. $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) + 2 = 0$.

5. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $y'' = 6x$.

   $y''=0$ при $x=0$.

   • На $(-\infty, 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
   • На $(0, +\infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз.

   Точка $x=0$ — точка перегиба. $y(0)=2$. Точка перегиба — $(0, 2)$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (1, +\infty)$, убывает на $(-1, 1)$. Точка локального максимума $(-1, 4)$, точка локального минимума $(1, 0)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, 0)$ и выпуклый вниз на $(0, +\infty)$. Точка перегиба $(0, 2)$.