Номер 44.66, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.66. а) $y = 2x^3 + x^2 - 2x - 1;$

б) $y = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x - \frac{11}{3};$

в) $y = x^3 + x^2 - x - 1;$

г) $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3}.$

а) Для функции $y = 2x^3 + x^2 - 2x - 1$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.
1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (2x^3 + x^2 - 2x - 1)' = 6x^2 + 2x - 2$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$6x^2 + 2x - 2 = 0$
$3x^2 + x - 1 = 0$
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 1 + 12 = 13$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}$ и $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}$.
4. Производная $y' = 6x^2 + 2x - 2$ представляет собой параболу с ветвями вверх. Следовательно, $y' > 0$ при $x \in (-\infty, \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}, +\infty)$ и $y' < 0$ при $x \in (\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{6})$.
Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}]$ и $[\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}, +\infty)$, и убывает на промежутке $[\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}]$.
5. В точке $x = \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. В точке $x = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
6. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$x_{max} = \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}$, $y_{max} = 2(\frac{-1 - \sqrt{13}}{6})^3 + (\frac{-1 - \sqrt{13}}{6})^2 - 2(\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}) - 1 = \frac{13\sqrt{13} - 35}{54}$.
$x_{min} = \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}$, $y_{min} = 2(\frac{-1 + \sqrt{13}}{6})^3 + (\frac{-1 + \sqrt{13}}{6})^2 - 2(\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}) - 1 = \frac{-13\sqrt{13} - 35}{54}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{13}}{6}]$ и $[\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}, +\infty)$, убывает на промежутке $[\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{-1 + \sqrt{13}}{6}]$. Точка максимума: $(\frac{-1 - \sqrt{13}}{6}, \frac{13\sqrt{13} - 35}{54})$. Точка минимума: $(\frac{-1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{-13\sqrt{13} - 35}{54})$.

б) Для функции $y = -\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x - \frac{11}{3}$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.
1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x - \frac{11}{3})' = -x^2 + 2x + 3$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$-x^2 + 2x + 3 = 0$
$x^2 - 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.
4. Производная $y' = -x^2 + 2x + 3$ представляет собой параболу с ветвями вниз. Следовательно, $y' > 0$ при $x \in (-1, 3)$ и $y' < 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (3, +\infty)$.
Таким образом, функция возрастает на промежутке $[-1, 3]$ и убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$.
5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума. В точке $x = 3$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума.
6. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$x_{min} = -1$, $y_{min} = -\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3(-1) - \frac{11}{3} = \frac{1}{3} + 1 - 3 - \frac{11}{3} = -2 - \frac{10}{3} = -\frac{16}{3}$.
$x_{max} = 3$, $y_{max} = -\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3(3) - \frac{11}{3} = -9 + 9 + 9 - \frac{11}{3} = \frac{16}{3}$.
Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, 3]$, убывает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[3, +\infty)$. Точка минимума: $(-1, -\frac{16}{3})$. Точка максимума: $(3, \frac{16}{3})$.

в) Для функции $y = x^3 + x^2 - x - 1$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.
1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (x^3 + x^2 - x - 1)' = 3x^2 + 2x - 1$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$3x^2 + 2x - 1 = 0$
Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-2 - 4}{6} = -1$ и $x_2 = \frac{-2 + 4}{6} = \frac{1}{3}$.
4. Производная $y' = 3x^2 + 2x - 1$ представляет собой параболу с ветвями вверх. Следовательно, $y' > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)$ и $y' < 0$ при $x \in (-1, \frac{1}{3})$.
Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[\frac{1}{3}, +\infty)$, и убывает на промежутке $[-1, \frac{1}{3}]$.
5. В точке $x = -1$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. В точке $x = \frac{1}{3}$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
6. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$x_{max} = -1$, $y_{max} = (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) - 1 = -1 + 1 + 1 - 1 = 0$.
$x_{min} = \frac{1}{3}$, $y_{min} = (\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} - 1 = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} - 1 = \frac{1+3-9-27}{27} = -\frac{32}{27}$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1]$ и $[\frac{1}{3}, +\infty)$, убывает на промежутке $[-1, \frac{1}{3}]$. Точка максимума: $(-1, 0)$. Точка минимума: $(\frac{1}{3}, -\frac{32}{27})$.

г) Для функции $y = \frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3}$ проведем исследование на монотонность и экстремумы.
1. Область определения функции - все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$y' = (\frac{x^3}{3} + x^2 - 3x + \frac{5}{3})' = x^2 + 2x - 3$.
3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$x^2 + 2x - 3 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
4. Производная $y' = x^2 + 2x - 3$ представляет собой параболу с ветвями вверх. Следовательно, $y' > 0$ при $x \in (-\infty, -3) \cup (1, +\infty)$ и $y' < 0$ при $x \in (-3, 1)$.
Таким образом, функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$, и убывает на промежутке $[-3, 1]$.
5. В точке $x = -3$ производная меняет знак с `+` на `-`, следовательно, это точка максимума. В точке $x = 1$ производная меняет знак с `-` на `+`, следовательно, это точка минимума.
6. Вычислим значения функции в точках экстремума:
$x_{max} = -3$, $y_{max} = \frac{(-3)^3}{3} + (-3)^2 - 3(-3) + \frac{5}{3} = -9 + 9 + 9 + \frac{5}{3} = 9 + \frac{5}{3} = \frac{32}{3}$.
$x_{min} = 1$, $y_{min} = \frac{1^3}{3} + 1^2 - 3(1) + \frac{5}{3} = \frac{1}{3} + 1 - 3 + \frac{5}{3} = \frac{6}{3} - 2 = 2 - 2 = 0$.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$, убывает на промежутке $[-3, 1]$. Точка максимума: $(-3, \frac{32}{3})$. Точка минимума: $(1, 0)$.