Номер 44.60, страница 276, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.60. а) $y = x - \sin 2x$;

б) $y = x + 4 \cos \frac{x}{2}$.

а) Для исследования функции $y = x - \sin 2x$ на монотонность и экстремумы найдем ее производную, определим критические точки и проанализируем знак производной.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную функции по $x$:

$y' = (x - \sin 2x)' = 1 - (\cos 2x) \cdot (2x)' = 1 - 2\cos 2x$.

Далее находим критические точки, приравнивая производную к нулю. Производная существует на всей области определения.

$y' = 0 \implies 1 - 2\cos 2x = 0$

$2\cos 2x = 1$

$\cos 2x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются:

$2x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Эти точки разбивают числовую ось на интервалы. Определим знак производной на этих интервалах. Знак $y'$ зависит от знака выражения $1 - 2\cos 2x$.

Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $1 - 2\cos 2x > 0 \implies \cos 2x < \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $1 - 2\cos 2x < 0 \implies \cos 2x > \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь определим экстремумы. В точках $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точки локального минимума. В точках $x = -\frac{\pi}{6} + \pi k$ (что эквивалентно $x = \frac{5\pi}{6} + \pi(k-1)$) производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точки локального максимума.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{5\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; убывает на интервалах $(-\frac{\pi}{6} + \pi k, \frac{\pi}{6} + \pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = \frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = -\frac{\pi}{6} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) Для исследования функции $y = x + 4\cos^2\frac{x}{2}$ на монотонность и экстремумы, сначала упростим ее выражение, используя формулу понижения степени $\cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$.

$y = x + 4\left(\frac{1 + \cos\left(2 \cdot \frac{x}{2}\right)}{2}\right) = x + 2(1 + \cos x) = x + 2 + 2\cos x$.

Теперь исследуем полученную функцию $y = x + 2 + 2\cos x$.

Область определения функции — все действительные числа, $D(y) = (-\infty, +\infty)$.

Находим производную:

$y' = (x + 2 + 2\cos x)' = 1 - 2\sin x$.

Находим критические точки, приравнивая производную к нулю:

$y' = 0 \implies 1 - 2\sin x = 0$

$\sin x = \frac{1}{2}$

Решениями этого уравнения являются две серии точек:

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Определим знаки производной на интервалах. Знак $y'$ зависит от знака выражения $1 - 2\sin x$.

Функция возрастает, когда $y' > 0$, то есть $1 - 2\sin x > 0 \implies \sin x < \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{\pi}{6} + 2\pi(k+1))$, то есть $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{13\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Функция убывает, когда $y' < 0$, то есть $1 - 2\sin x < 0 \implies \sin x > \frac{1}{2}$. Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$.

Определим экстремумы. В точках $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ производная меняет знак с «+» на «–», следовательно, это точки локального максимума. В точках $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ производная меняет знак с «–» на «+», следовательно, это точки локального минимума.

Ответ: функция возрастает на интервалах $(\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \frac{13\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; убывает на интервалах $(\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \frac{5\pi}{6} + 2\pi k)$, $k \in \mathbb{Z}$; точки максимума $x_{max} = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$; точки минимума $x_{min} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.