Номер 44.54, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.54. a) $y = (x^3 - 27x)^3;$

б) $y = \sqrt{x^3 - 27x};$

В) $y = (x^3 - 3x^2)^4;$

Г) $y = \sqrt{x^3 - 3x^2}.$

а) $y = (x^3 - 27x)^3$

Для нахождения производной этой функции мы применим правило дифференцирования сложной функции (цепное правило), которое гласит: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

В данном случае, внешняя функция — это степенная функция $f(u) = u^3$, а внутренняя функция — многочлен $u = g(x) = x^3 - 27x$.

Сначала найдем производную внешней функции по ее аргументу $u$:

$f'(u) = (u^3)' = 3u^2$

Затем найдем производную внутренней функции по $x$:

$g'(x) = (x^3 - 27x)' = (x^3)' - (27x)' = 3x^2 - 27$

Теперь, согласно цепному правилу, перемножим производную внешней функции (в которую подставлена внутренняя функция) на производную внутренней функции:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 3(x^3 - 27x)^2 \cdot (3x^2 - 27)$

Для упрощения можно вынести общий множитель 3 из второго выражения:

$y' = 3(x^3 - 27x)^2 \cdot 3(x^2 - 9) = 9(x^2 - 9)(x^3 - 27x)^2$

Ответ: $y' = 9(x^2 - 9)(x^3 - 27x)^2$

б) $y = \sqrt{x^3 - 27x}$

Эта функция также является сложной. Для удобства дифференцирования представим квадратный корень в виде степени $1/2$: $y = (x^3 - 27x)^{1/2}$.

Снова применяем цепное правило. Здесь внешняя функция $f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$, а внутренняя функция $u = g(x) = x^3 - 27x$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$g'(x) = (x^3 - 27x)' = 3x^2 - 27$

Подставляем найденные производные в формулу цепного правила:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 - 27x}} \cdot (3x^2 - 27)$

Запишем выражение в виде одной дроби:

$y' = \frac{3x^2 - 27}{2\sqrt{x^3 - 27x}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2 - 27}{2\sqrt{x^3 - 27x}}$

в) $y = (x^3 - 3x^2)^4$

Для нахождения производной данной сложной функции воспользуемся цепным правилом.

Внешняя функция $f(u) = u^4$, внутренняя функция $u = g(x) = x^3 - 3x^2$.

Найдем производные этих функций по отдельности:

$f'(u) = (u^4)' = 4u^3$

$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = (x^3)' - (3x^2)' = 3x^2 - 6x$

Теперь применим цепное правило, подставив наши функции и их производные:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = 4(x^3 - 3x^2)^3 \cdot (3x^2 - 6x)$

Можно упростить выражение, вынеся общий множитель $3x$ из второго сомножителя:

$y' = 4(x^3 - 3x^2)^3 \cdot 3x(x - 2) = 12x(x - 2)(x^3 - 3x^2)^3$

Ответ: $y' = 12x(x - 2)(x^3 - 3x^2)^3$

г) $y = \sqrt{x^3 - 3x^2}$

Как и в пункте б), представим корень как степень $1/2$: $y = (x^3 - 3x^2)^{1/2}$.

Применяем правило дифференцирования сложной функции. Внешняя функция $f(u) = \sqrt{u} = u^{1/2}$, внутренняя функция $u = g(x) = x^3 - 3x^2$.

Находим производные этих функций:

$f'(u) = (u^{1/2})' = \frac{1}{2}u^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$

$g'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$

Собираем производную по цепному правилу:

$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 - 3x^2}} \cdot (3x^2 - 6x)$

Объединим в одну дробь:

$y' = \frac{3x^2 - 6x}{2\sqrt{x^3 - 3x^2}}$

Ответ: $y' = \frac{3x^2 - 6x}{2\sqrt{x^3 - 3x^2}}$