Номер 44.48, страница 275, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.48. а) $y = 2x^2 - 7x + 1$;

б) $y = 3 - 5x - x^2$;

В) $y = 4x^2 - 6x - 7$;

Г) $y = -3x^2 - 12x + 50.$

а) Для функции $y = 2x^2 - 7x + 1$ имеем дело с квадратичной функцией, график которой — парабола. Коэффициенты стандартного уравнения $y = ax^2 + bx + c$ в данном случае равны $a = 2$, $b = -7$, $c = 1$.
Так как коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх, а ее вершина является точкой минимума.
Координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$ вычисляются по следующим формулам:
$x_0 = -\frac{b}{2a}$
$y_0 = y(x_0)$
Сначала вычисляем абсциссу (координату x) вершины:
$x_0 = -\frac{-7}{2 \cdot 2} = \frac{7}{4} = 1,75$
Затем вычисляем ординату (координату y) вершины, подставив найденное значение $x_0$ в исходное уравнение функции:
$y_0 = 2\left(\frac{7}{4}\right)^2 - 7\left(\frac{7}{4}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{49}{16} - \frac{49}{4} + 1 = \frac{49}{8} - \frac{98}{8} + \frac{8}{8} = \frac{49 - 98 + 8}{8} = -\frac{41}{8} = -5,125$
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(\frac{7}{4}, -\frac{41}{8})$.
Ответ: $(\frac{7}{4}, -\frac{41}{8})$.

б) Для функции $y = 3 - 5x - x^2$ сначала приведем ее к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$: $y = -x^2 - 5x + 3$.
Коэффициенты равны $a = -1$, $b = -5$, $c = 3$.
Так как коэффициент $a = -1 < 0$, ветви параболы направлены вниз, а ее вершина является точкой максимума.
Вычисляем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-5}{2 \cdot (-1)} = -\frac{5}{2} = -2,5$
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = -\frac{5}{2}$ в уравнение:
$y_0 = -(-\frac{5}{2})^2 - 5(-\frac{5}{2}) + 3 = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} + 3 = -\frac{25}{4} + \frac{50}{4} + \frac{12}{4} = \frac{-25 + 50 + 12}{4} = \frac{37}{4} = 9,25$
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(-\frac{5}{2}, \frac{37}{4})$.
Ответ: $(-\frac{5}{2}, \frac{37}{4})$.

в) Для функции $y = 4x^2 - 6x - 7$ коэффициенты уравнения $y = ax^2 + bx + c$ равны $a = 4$, $b = -6$, $c = -7$.
Так как коэффициент $a = 4 > 0$, ветви параболы направлены вверх, а ее вершина является точкой минимума.
Вычисляем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = \frac{3}{4}$ в уравнение:
$y_0 = 4\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{4}\right) - 7 = 4 \cdot \frac{9}{16} - \frac{18}{4} - 7 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} - \frac{28}{4} = \frac{9 - 18 - 28}{4} = -\frac{37}{4} = -9,25$
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(\frac{3}{4}, -\frac{37}{4})$.
Ответ: $(\frac{3}{4}, -\frac{37}{4})$.

г) Для функции $y = -3x^2 - 12x + 50$ коэффициенты уравнения $y = ax^2 + bx + c$ равны $a = -3$, $b = -12$, $c = 50$.
Так как коэффициент $a = -3 < 0$, ветви параболы направлены вниз, а ее вершина является точкой максимума.
Вычисляем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot (-3)} = -\frac{-12}{-6} = -2$
Вычисляем ординату вершины, подставив $x_0 = -2$ в уравнение:
$y_0 = -3(-2)^2 - 12(-2) + 50 = -3 \cdot 4 + 24 + 50 = -12 + 24 + 50 = 62$
Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(-2, 62)$.
Ответ: $(-2, 62)$.