Номер 44.44, страница 272, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.44. а) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале $ (a, b) $, имеющей на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеющей наименьшего значения.

б) Постройте эскиз графика функции, дифференцируемой на интервале $ (a, b) $, имеющей на нём две точки минимума, две точки максимума, но не имеющей ни наименьшего, ни наибольшего значений.

a)

Требуется построить эскиз графика функции $f(x)$, которая является дифференцируемой на интервале $(a, b)$, имеет на этом интервале одну точку минимума, две точки максимума и не имеет наименьшего значения.

1. Условия на экстремумы. Наличие одной точки минимума и двух точек максимума означает, что у функции есть три точки, в которых производная $f'(x)$ равна нулю. Поскольку функция непрерывна (как следствие дифференцируемости), точки минимума и максимума должны чередоваться. Следовательно, порядок экстремумов должен быть таким: максимум, затем минимум, затем снова максимум. Обозначим абсциссы этих точек как $x_{max1}$, $x_{min}$, $x_{max2}$, где $a < x_{max1} < x_{min} < x_{max2} < b$.

2. Поведение функции. Исходя из расположения точек экстремума, функция $f(x)$:

• возрастает на интервале $(a, x_{max1})$;
• убывает на интервале $(x_{max1}, x_{min})$;
• возрастает на интервале $(x_{min}, x_{max2})$;
• убывает на интервале $(x_{max2}, b)$.

3. Отсутствие наименьшего значения. У функции есть локальный минимум в точке $x_{min}$ со значением $f(x_{min})$. Чтобы у функции не было наименьшего значения (глобального минимума) на всем интервале $(a, b)$, она должна стремиться к значению, которое меньше или равно $f(x_{min})$ на одной из границ интервала. Поскольку значение не должно достигаться, предел функции при приближении к границе должен быть строго меньше, чем значение в точке локального минимума. Например, пусть предел функции при $x$, стремящемся к $b$ справа, будет равен некоторому числу $L$, причем $L < f(x_{min})$. То есть, $\lim_{x \to b^-} f(x) = L$, где $L < f(x_{min})$. В этом случае точная нижняя грань (инфимум) значений функции на интервале $(a,b)$ равна $L$, но это значение никогда не достигается.

4. Описание эскиза графика. График представляет собой гладкую кривую на интервале $(a, b)$. При приближении $x$ к $a$ справа, функция может начинаться с любого конечного значения. Далее кривая возрастает до точки первого локального максимума $(x_{max1}, f(x_{max1}))$. Затем она убывает до точки локального минимума $(x_{min}, f(x_{min}))$. После этого кривая снова возрастает до точки второго локального максимума $(x_{max2}, f(x_{max2}))$. Наконец, на интервале $(x_{max2}, b)$ функция убывает и асимптотически приближается к горизонтальной прямой $y=L$ (где $L < f(x_{min})$) при $x \to b^-$. На концах интервала можно изобразить "выколотые" точки, чтобы подчеркнуть, что граничные точки не принадлежат графику.

Ответ: Эскиз графика функции, удовлетворяющей условиям, описан в пункте 4.

б)

Требуется построить эскиз графика функции $f(x)$, которая является дифференцируемой на интервале $(a, b)$, имеет на нём две точки минимума, две точки максимума, но не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.

1. Условия на экстремумы. Наличие двух точек минимума и двух точек максимума означает, что у функции есть четыре точки с нулевой производной. Эти точки экстремума должны чередоваться. Возможный порядок: минимум-максимум-минимум-максимум. Обозначим абсциссы этих точек как $x_{min1}, x_{max1}, x_{min2}, x_{max2}$, где $a < x_{min1} < x_{max1} < x_{min2} < x_{max2} < b$.

2. Поведение функции. С таким порядком экстремумов функция $f(x)$:

• убывает на интервале $(a, x_{min1})$;
• возрастает на интервале $(x_{min1}, x_{max1})$;
• убывает на интервале $(x_{max1}, x_{min2})$;
• возрастает на интервале $(x_{min2}, x_{max2})$;
• убывает на интервале $(x_{max2}, b)$.

3. Отсутствие наименьшего и наибольшего значений. У функции есть два локальных минимума $f(x_{min1})$ и $f(x_{min2})$ и два локальных максимума $f(x_{max1})$ и $f(x_{max2})$. Чтобы у функции не было ни наименьшего, ни наибольшего значения, она должна быть неограниченной как снизу, так и сверху на интервале $(a, b)$. Это можно обеспечить, если на границах интервала функция стремится к бесконечности. Например, пусть $\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$ и $\lim_{x \to b^-} f(x) = -\infty$. В этом случае supremum (точная верхняя грань) значений функции равен $+\infty$, а infimum (точная нижняя грань) равен $-\infty$. Так как $+\infty$ и $-\infty$ не являются числами, они не могут быть значениями функции, следовательно, у функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

4. Описание эскиза графика. График представляет собой гладкую кривую на интервале $(a, b)$, имеющую вертикальные асимптоты на границах $x=a$ и $x=b$. При приближении $x$ к $a$ справа, кривая уходит в плюс бесконечность ($\lim_{x \to a^+} f(x) = +\infty$). Затем функция убывает до точки первого локального минимума $(x_{min1}, f(x_{min1}))$. Далее она возрастает до точки первого локального максимума $(x_{max1}, f(x_{max1}))$. После этого снова убывает до второго локального минимума $(x_{min2}, f(x_{min2}))$ и снова возрастает до второго локального максимума $(x_{max2}, f(x_{max2}))$. Наконец, на интервале $(x_{max2}, b)$ функция убывает и уходит в минус бесконечность при $x \to b^-$ ($\lim_{x \to b^-} f(x) = -\infty$). Такой график будет иметь два "холма" (максимумы) и две "впадины" (минимумы), но будет неограниченным сверху и снизу.

Ответ: Эскиз графика функции, удовлетворяющей условиям, описан в пункте 4.