Номер 44.41, страница 272, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.41. Используя данные о производной $y=f'(x)$, приведённые в таблице,

x: $(-\infty; 5)$, $-5$, $(-5; -2)$, $-2$, $(-2; 8)$, $8$, $(8; +\infty)$

$y = f'(x)$: $+$, $0$, $-$, $0$, $+$, $0$, $+$

укажите:

a) промежутки возрастания функции $y=f(x);$

б) промежутки убывания функции $y=f(x);$

в) точки максимума функции $y=f(x);$

г) точки минимума функции $y=f(x).$

Для решения задачи проанализируем данные о знаке производной $y = f'(x)$, представленные в таблице, и применим основные свойства производной для исследования функции на монотонность и экстремумы.

а) промежутки возрастания функции $y = f(x)$;

Функция $y=f(x)$ возрастает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ положительна, то есть $f'(x) > 0$.
Из таблицы мы видим, что это условие выполняется на интервалах $(-\infty; -5)$, $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$.
Поскольку функция непрерывна в точках $x=-5$, $x=-2$ и $x=8$ (так как производная в них определена и равна нулю), мы можем включить эти точки в итоговые промежутки.
На интервалах $(-2; 8)$ и $(8; +\infty)$ производная положительна, а в точке $x=8$ она равна нулю. Это означает, что функция возрастает на всем объединенном промежутке $[-2; +\infty)$.
Таким образом, промежутками возрастания функции являются $(-\infty; -5]$ и $[-2; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -5]$ и $[-2; +\infty)$.

б) промежутки убывания функции $y = f(x)$;

Функция $y=f(x)$ убывает на тех промежутках, где ее производная $f'(x)$ отрицательна, то есть $f'(x) < 0$.
Из таблицы видно, что это условие выполняется на интервале $(-5; -2)$.
Включая концы интервала, где функция непрерывна, получаем промежуток убывания $[-5; -2]$.

Ответ: $[-5; -2]$.

в) точки максимума функции $y = f(x)$;

Точка максимума — это точка, в которой производная функции меняет знак с «+» на «?».
В точке $x = -5$ производная $f'(x)$ равна нулю. Слева от этой точки, на интервале $(-\infty; -5)$, производная положительна ($f'(x) > 0$), а справа, на интервале $(-5; -2)$, — отрицательна ($f'(x) < 0$).
Следовательно, $x = -5$ является точкой максимума.

Ответ: $x_{max} = -5$.

г) точки минимума функции $y = f(x)$.

Точка минимума — это точка, в которой производная функции меняет знак с «?» на «+».
В точке $x = -2$ производная $f'(x)$ равна нулю. Слева от этой точки, на интервале $(-5; -2)$, производная отрицательна ($f'(x) < 0$), а справа, на интервале $(-2; 8)$, — положительна ($f'(x) > 0$).
Следовательно, $x = -2$ является точкой минимума.
В точке $x = 8$ производная также равна нулю, но знак не меняет (остается «+»), поэтому эта точка не является точкой экстремума, а является точкой перегиба.

Ответ: $x_{min} = -2$.