Номер 44.37, страница 271, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

Рис. 118

Рис. 119

Рис. 120

44.37. По графику функции $y = f(x)$, $x \in \mathbb{R}$, изображённому на заданном рисунке, определите точки, в которых производная не существует:

а) рис. 117;

б) рис. 118;

в) рис. 119;

г) рис. 120.

Производная функции $y = f(x)$ в точке $x_0$ существует тогда и только тогда, когда график функции в этой точке имеет единственную невертикальную касательную. Это означает, что график должен быть "гладким" в этой точке, без разрывов, резких изломов (углов) или каспов (острых пиков). Во всех задачах, представленных на рисунках, функции непрерывны. Следовательно, производная не будет существовать в точках, где график имеет изломы, так как в этих точках предел отношения приращения функции к приращению аргумента слева не равен пределу справа: $f'_{-}(x_0) \ne f'_{+}(x_0)$.

а) рис. 117;

Рисунок 117 в предоставленном изображении отсутствует, поэтому определить точки, в которых производная не существует, для этого графика невозможно.

б) рис. 118;

На графике, изображенном на рисунке 118, функция имеет три точки излома: $a$, $b$ и $c$. В точке $x = a$ и $x = c$ находятся острые минимумы (впадины), а в точке $x = b$ — острый максимум (пик). В каждой из этих точек касательная слева и касательная справа имеют разные наклоны, поэтому провести единственную касательную невозможно. Следовательно, производная в точках $a$, $b$ и $c$ не существует.
Ответ: $a, b, c$.

в) рис. 119;

На графике, изображенном на рисунке 119, функция также имеет изломы в точках $a$, $b$ и $c$. В точке $x = a$ находится острый минимум, а в точках $x = b$ и $x = c$ — острые максимумы. В этих точках график резко меняет направление, образуя "углы". Поэтому производная в точках $a, b$ и $c$ не существует.
Ответ: $a, b, c$.

г) рис. 120.

График на рисунке 120 является непрерывной кусочно-линейной функцией. Производная такой функции существует и постоянна на каждом линейном участке, но не существует в точках соединения отрезков с разным наклоном (в точках излома). На данном графике изломы происходят в точках $b, c, d, e$. В точке $a$ излома нет, она является внутренней точкой прямолинейного отрезка, поэтому производная в этой точке существует. В точках $b$ и $d$ находятся пики, а в точках $c$ и $e$ — впадины. В этих четырех точках производная не существует.
Ответ: $b, c, d, e$.