Номер 44.30, страница 269, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.30. Постройте график функции $y = f(x)$, $x \in [0; 10]$, производная которой равна нулю на интервалах $(0; 2)$; $(2; 6)$; $(6; 10)$, если известно, что $f(1) = 0$, $f(5) = 3$, $f(8) = -2$.

Анализ условия о производной

По условию, производная функции $y = f(x)$ равна нулю на интервалах $(0; 2)$, $(2; 6)$ и $(6; 10)$. Из курса математического анализа известно, что если производная функции на некотором интервале равна нулю ($f'(x) = 0$), то сама функция на этом интервале является постоянной (константой). Следовательно, функция $f(x)$ является кусочно-постоянной. То есть, она принимает три разных постоянных значения на трех указанных интервалах.

Определение значений функции на интервалах

Чтобы найти эти постоянные значения, используем данные в условии точки, принадлежащие графику функции: $f(1) = 0$, $f(5) = 3$, $f(8) = -2$.
• Для интервала $(0; 2)$: точка $x=1$ принадлежит этому интервалу. Так как $f(1) = 0$, то для всех $x$ из интервала $(0; 2)$ значение функции будет равно 0. То есть, $f(x) = 0$ при $x \in (0; 2)$.
• Для интервала $(2; 6)$: точка $x=5$ принадлежит этому интервалу. Так как $f(5) = 3$, то для всех $x$ из интервала $(2; 6)$ значение функции будет равно 3. То есть, $f(x) = 3$ при $x \in (2; 6)$.
• Для интервала $(6; 10)$: точка $x=8$ принадлежит этому интервалу. Так как $f(8) = -2$, то для всех $x$ из интервала $(6; 10)$ значение функции будет равно -2. То есть, $f(x) = -2$ при $x \in (6; 10)$.

Построение графика

Теперь мы можем построить график функции на всем отрезке $x \in [0; 10]$. График будет состоять из трех горизонтальных участков. В точках $x=2$ и $x=6$ функция имеет разрывы первого рода (скачки). Чтобы график был однозначно определен на всем отрезке, включая концы интервалов, мы должны определить значения $f(0), f(2), f(6), f(10)$.
Хотя в условии это строго не оговорено, стандартным подходом является расширение постоянства функции на концы интервалов. Определим функцию так, чтобы она была задана на всем отрезке $[0; 10]$ и удовлетворяла всем условиям. Например, можно сделать ее непрерывной справа в точках разрыва:
$f(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x \in [0, 2] \\ 3, & \text{если } x \in (2, 6] \\ -2, & \text{если } x \in (6, 10] \end{cases}$
Этот вид функции удовлетворяет всем исходным данным.
График будет выглядеть следующим образом:
1. На промежутке $[0; 2]$ — горизонтальный отрезок прямой $y=0$, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$. Обе точки включены (закрашены).
2. На промежутке $(2; 6]$ — горизонтальный отрезок прямой $y=3$. Начальная точка $(2, 3)$ выколота (изображается пустым кружком), а конечная точка $(6, 3)$ включена (закрашенный кружок).
3. На промежутке $(6; 10]$ — горизонтальный отрезок прямой $y=-2$. Начальная точка $(6, -2)$ выколота, а конечная точка $(10, -2)$ включена.

Ответ: График функции $y=f(x)$ на отрезке $[0; 10]$ состоит из трех горизонтальных отрезков. Первый отрезок соединяет точки $(0,0)$ и $(2,0)$ (обе точки включены). Второй отрезок идет от точки $(2,3)$ (выколота) до точки $(6,3)$ (включена). Третий отрезок идет от точки $(6,-2)$ (выколота) до точки $(10,-2)$ (включена).