Номер 44.25, страница 269, часть 2 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мордкович, Семенов

44.25. a) $y = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$;

б) $y = \sqrt{5x - 2 - 2x^2}$.

а) Областью определения функции $y = \sqrt{x^2 - 6x + 8}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^2 - 6x + 8 \ge 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 8 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$.

Либо можно использовать дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$

$x_1 = \frac{6 - 2}{2} = 2$

$x_2 = \frac{6 + 2}{2} = 4$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 6x + 8$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, значения функции неотрицательны ($f(x) \ge 0$) при $x$ левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков $(-\infty, 2]$ и $[4, +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty, 2] \cup [4, +\infty)$.

б) Областью определения функции $y = \sqrt{5x - 2 - 2x^2}$ является множество всех значений $x$, при которых подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство:

$5x - 2 - 2x^2 \ge 0$

Умножим обе части неравенства на $-1$ и сменим знак неравенства на противоположный, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$2x^2 - 5x + 2 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Графиком функции $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения этой функции неположительны ($f(x) \le 0$) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[0.5, 2]$.

Ответ: $D(y) = [0.5, 2]$.